$a > 0$とし、定積分 $S(a) = \int_0^2 |x^3 - ax| dx$ について考える。 (1) $a \geq 4$ のとき、$S(a)$を求める。 (2) $0 < a \leq 4$ のとき、$S(a)$を求める。

1. 問題の内容

$a > 0$とし、定積分 $S(a) = \int_0^2 |x^3 - ax| dx$ について考える。

(1) $a \geq 4$ のとき、$S(a)$を求める。

(2) $0 < a \leq 4$ のとき、$S(a)$を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a \geq 4$ のとき、$0 \leq x \leq 2$ において、$x^3 - ax = x(x^2 - a) \leq 0$。よって、$|x^3 - ax| = -x^3 + ax$ となる。

したがって、

$S(a) = \int_0^2 (-x^3 + ax) dx = \left[-\frac{x^4}{4} + \frac{ax^2}{2}\right]_0^2 = -\frac{2^4}{4} + \frac{a \cdot 2^2}{2} = -4 + 2a = 2a - 4$。

(2) $0 < a \leq 4$ のとき、$x^3 - ax = x(x^2 - a)$。$x^2 - a = 0$ となるのは、$x = \sqrt{a}$ のとき。$0 < a \leq 4$ より、$0 < \sqrt{a} \leq 2$ である。

したがって、$0 \leq x \leq \sqrt{a}$ では $x^3 - ax \leq 0$、$\sqrt{a} \leq x \leq 2$ では $x^3 - ax \geq 0$ となる。

よって、

$S(a) = \int_0^{\sqrt{a}} (-x^3 + ax) dx + \int_{\sqrt{a}}^2 (x^3 - ax) dx$

$= \left[-\frac{x^4}{4} + \frac{ax^2}{2}\right]_0^{\sqrt{a}} + \left[\frac{x^4}{4} - \frac{ax^2}{2}\right]_{\sqrt{a}}^2$

$= \left(-\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{2}\right) + \left(\frac{2^4}{4} - \frac{a \cdot 2^2}{2}\right) - \left(\frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{2}\right)$

$= \frac{a^2}{4} + (4 - 2a) - \left(-\frac{a^2}{4}\right) = \frac{a^2}{4} + 4 - 2a + \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{2} - 2a + 4$

$= \frac{3}{4}a^2 - 2a + 4$

3. 最終的な答え

(1) $S(a) = 2a - 4$

(2) $S(a) = \frac{a^2}{2} - 2a + 4$