問題は「偏角とは何ですか？」という問いです。複素数の偏角について説明します。

1. 問題の内容

問題は「偏角とは何ですか？」という問いです。複素数の偏角について説明します。

2. 解き方の手順

複素数 $z = x + iy$ (ここで $x$ と $y$ は実数で、$i$ は虚数単位) を複素平面上の点 $(x, y)$ に対応させることができます。この点 $(x, y)$ を原点からの距離 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ (絶対値) と、実軸の正の方向から反時計回りに測った角度 $\theta$ で表すことができます。

この角度 $\theta$ が複素数 $z$ の偏角です。偏角は $\arg(z)$ と書かれます。

偏角は一意に定まるものではなく、$2\pi$ の整数倍の不定性があります。通常、主値と呼ばれる、$-\pi < \theta \le \pi$ の範囲の偏角が用いられます。

$x = r\cos\theta$ および $y = r\sin\theta$ であるため、$\tan\theta = \frac{y}{x}$ となります。これにより、$\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$ を計算できますが、arctan関数は主値しか返さないため、象限を考慮して適切に補正する必要があります。

3. 最終的な答え

複素数 $z = x + iy$ の偏角は、複素平面上で、$z$ を表す点と原点を結ぶ線分と、実軸の正の方向とのなす角 $\theta$ であり、$\arg(z) = \theta$ と表されます。

$\theta$ は $\tan \theta = \frac{y}{x}$ を満たす角度です。