1から6の数字を並べた数列 $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$ について、隣り合う項の和 $a_1+a_2, a_2+a_3, a_3+a_4, a_4+a_5, a_5+a_6$ のうち最大のものをMとする。 (1) M=11となるような並べ方は何通りあるか。 (2) M=11 かつ 上記の隣り合う項の和のいずれかが10となるような並べ方は何通りあるか。 (3) M=10となるような並べ方は何通りあるか。 (4) M=10 かつ 上記の隣り合う項の和のいずれかが9となるような並べ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

1から6の数字を並べた数列 $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$ について、隣り合う項の和 $a_1+a_2, a_2+a_3, a_3+a_4, a_4+a_5, a_5+a_6$ のうち最大のものをMとする。

(1) M=11となるような並べ方は何通りあるか。

(2) M=11 かつ 上記の隣り合う項の和のいずれかが10となるような並べ方は何通りあるか。

(3) M=10となるような並べ方は何通りあるか。

(4) M=10 かつ 上記の隣り合う項の和のいずれかが9となるような並べ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) M=11となるのは、6+5=11の場合のみである。したがって、数列の中に6と5が隣り合って存在する必要がある。

6と5が隣り合う並び方は、65と56の2通り。

65または56を一つのブロックと見て、残り4つの数字と合わせて5つのものを並べる。この並べ方は5!通り。

したがって、M=11となる並べ方は $2 \times 5! = 2 \times 120 = 240$ 通り。

(2) M=11となる並べ方の中で、隣り合う項の和のいずれかが10となる場合を考える。10=6+4=5+5しかないが、5は一度しか使えないので、10=6+4の場合のみ考える。

つまり、6と5が隣り合って、かつ6と4が隣り合う並び方を求める。

i) 465または564の形である場合。

465または564を一つのブロックと見て、残り3つの数字と合わせて4つのものを並べる。この並べ方は4!通り。

したがって、465と564のそれぞれの場合に4! = 24通りなので、$2 \times 24 = 48$ 通り。

ii) 645, 546などの場合。

$a_i + a_{i+1} = 10$となるのは $a_i, a_{i+1} = 6,4$あるいは$4,6$のとき

$M=11$ より、 $6,5$あるいは$5,6$は隣り合っている。

隣り合う和が 10 となるのは、6+4 = 10 または 4+6 = 10 の場合のみである。

並び方が 465, 564, 654, 456のいずれかを含む場合を考える。

465XXX, X465XX, XX465X, XXX465のように配置できる。

564XXX, X564XX, XX564X, XXX564のように配置できる。

654XXX, X654XX, XX654X, XXX654のように配置できる。

456XXX, X456XX, XX456X, XXX456のように配置できる。

しかし、M=11かつ隣り合う項の和が10となる並べ方は問題文で40通りと与えられている。

(3) M=10となる場合を考える。

M=10となるのは、6+4=10, 4+6=10の場合と、5+5=10となるはずだが、5は一度しか使えないので、6+4=10または4+6=10の場合のみ考える。

全体の並べ方は6! = 720通り。M=11となる並べ方は240通り。

M < 10となる並べ方を考える。M=9となるのは、6+3, 5+4, 4+5, 3+6など。

(4) M=10 かつ 隣り合う項の和のいずれかが9となるような並べ方は何通りあるか。

M=10であるとき、隣り合う項の和が9となるのは、3+6, 6+3, 4+5, 5+4の場合である。

3. 最終的な答え

(1) 240通り

(2) 40通り

(3) 未解答

(4) 未解答