大小中3個のサイコロを投げるとき、以下の各場合に何通りあるかを求めます。 (1) 目の和が8になる場合 (2) 目の積が10になる場合 (3) 目の大きさが大中小の順に小さくなる場合

1. 問題の内容

大小中3個のサイコロを投げるとき、以下の各場合に何通りあるかを求めます。

(1) 目の和が8になる場合

(2) 目の積が10になる場合

(3) 目の大きさが大中小の順に小さくなる場合

2. 解き方の手順

(1) 目の和が8になる場合

大中小のサイコロの目をそれぞれ$x, y, z$とすると、$x + y + z = 8$となる組み合わせを考えます。ただし、$1 \le x, y, z \le 6$です。

$x, y, z$の組み合わせを列挙します。

(1, 1, 6), (1, 2, 5), (1, 3, 4), (1, 4, 3), (1, 5, 2), (1, 6, 1)

(2, 1, 5), (2, 2, 4), (2, 3, 3), (2, 4, 2), (2, 5, 1)

(3, 1, 4), (3, 2, 3), (3, 3, 2), (3, 4, 1)

(4, 1, 3), (4, 2, 2), (4, 3, 1)

(5, 1, 2), (5, 2, 1)

(6, 1, 1)

上記の組み合わせで、大中小の区別を考慮すると

(1,1,6) -> (1,1,6), (1,6,1), (6,1,1) : 3通り

(1,2,5) -> (1,2,5), (1,5,2), (2,1,5), (2,5,1), (5,1,2), (5,2,1) : 6通り

(1,3,4) -> (1,3,4), (1,4,3), (3,1,4), (3,4,1), (4,1,3), (4,3,1) : 6通り

(2,2,4) -> (2,2,4), (2,4,2), (4,2,2) : 3通り

(2,3,3) -> (2,3,3), (3,2,3), (3,3,2) : 3通り

したがって、3 + 6 + 6 + 3 + 3 = 21通りです。

(2) 目の積が10になる場合

$x \times y \times z = 10$となる組み合わせを考えます。$10 = 2 \times 5$より、残りの1つは1である必要があります。

(1, 2, 5)の組み合わせしかありません。大中小の区別を考慮すると(1, 2, 5), (1, 5, 2), (2, 1, 5), (2, 5, 1), (5, 1, 2), (5, 2, 1)の6通りです。

(3) 目の大きさが大中小の順に小さくなる場合

$x > y > z$となる組み合わせを考えます。$1 \le z < y < x \le 6$です。

$x, y, z$は全て異なる数です。

6個の数から3個を選ぶ組み合わせは、${}_6 C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$通りです。選んだ3つの数字を大きい順に大中小に割り振れば条件を満たすので、20通りです。

3. 最終的な答え

(1) 21通り

(2) 6通り

(3) 20通り