与えられた方程式 $|2x| + |x-2| = 6$ を解きます。絶対値記号が含まれているため、場合分けをして考える必要があります。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $|2x| + |x-2| = 6$ を解きます。絶対値記号が含まれているため、場合分けをして考える必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$|2x|$ と $|x-2|$ の絶対値の中身がそれぞれ0以上になるか負になるかで場合分けをします。

$2x = 0$ となるのは $x=0$ のとき、$x-2 = 0$ となるのは $x=2$ のときです。したがって、以下の3つの場合に分けて考えます。

(i) $x < 0$ のとき

このとき、$2x < 0$ かつ $x-2 < 0$ なので、

$|2x| = -2x$

$|x-2| = -(x-2) = -x+2$

となります。したがって、方程式は次のようになります。

$-2x + (-x+2) = 6$

$-3x + 2 = 6$

$-3x = 4$

$x = -\frac{4}{3}$

これは $x < 0$ を満たすので、解の1つです。

(ii) $0 \leq x < 2$ のとき

このとき、$2x \geq 0$ かつ $x-2 < 0$ なので、

$|2x| = 2x$

$|x-2| = -(x-2) = -x+2$

となります。したがって、方程式は次のようになります。

$2x + (-x+2) = 6$

$x + 2 = 6$

$x = 4$

これは $0 \leq x < 2$ を満たさないので、解ではありません。

(iii) $x \geq 2$ のとき

このとき、$2x \geq 0$ かつ $x-2 \geq 0$ なので、

$|2x| = 2x$

$|x-2| = x-2$

となります。したがって、方程式は次のようになります。

$2x + (x-2) = 6$

$3x - 2 = 6$

$3x = 8$

$x = \frac{8}{3}$

これは $x \geq 2$ を満たすので、解の1つです。

3. 最終的な答え

したがって、方程式 $|2x| + |x-2| = 6$ の解は $x = -\frac{4}{3}, \frac{8}{3}$ です。

答え: $x = -\frac{4}{3}, \frac{8}{3}$