ある整式を $(x+2)(x-1)$ で割ったときの余りが $3x+1$ である。 (1) $(x+2)(x-1)$ で割ったときの商を $Q(x)$ とするとき、この整式を表す。 (2) この整式を $x-1$ で割ったときの余りを求める。

1. 問題の内容

ある整式を $(x+2)(x-1)$ で割ったときの余りが $3x+1$ である。

(1) $(x+2)(x-1)$ で割ったときの商を $Q(x)$ とするとき、この整式を表す。

(2) この整式を $x-1$ で割ったときの余りを求める。

2. 解き方の手順

(1)

ある整式を $P(x)$ とすると、問題文より、

$P(x) = (x+2)(x-1)Q(x) + 3x+1$

と表せる。

(2)

$P(x)$ を $x-1$ で割った余りを求める。剰余の定理より、$P(1)$ を計算すればよい。

(1) で求めた $P(x)$ の式に $x=1$ を代入すると、

$P(1) = (1+2)(1-1)Q(1) + 3(1) + 1 = (3)(0)Q(1) + 3 + 1 = 0 + 4 = 4$

よって、$P(x)$ を $x-1$ で割った余りは $4$ である。

3. 最終的な答え

(1) $P(x) = (x+2)(x-1)Q(x) + 3x+1$

(2) $4$