与えられた数式 $\frac{1}{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}$ を計算し、有理化せよ。

1. 問題の内容

与えられた数式 $\frac{1}{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}$ を計算し、有理化せよ。

2. 解き方の手順

まず、分母を有理化するために、分母に $(1 + \sqrt{2}) + \sqrt{3}$ を掛けます。すると分母は $(1 + \sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2$ となります。分子にも同じ数を掛けます。

ステップ1：分母の有理化

$$\frac{1}{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}} = \frac{1}{(1 + \sqrt{2}) - \sqrt{3}} \times \frac{(1 + \sqrt{2}) + \sqrt{3}}{(1 + \sqrt{2}) + \sqrt{3}}$$

$$\frac{(1 + \sqrt{2}) + \sqrt{3}}{(1 + \sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}{(1 + 2\sqrt{2} + 2) - 3}$$

$$\frac{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}{1 + 2\sqrt{2} + 2 - 3} = \frac{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$$

ステップ2：さらに有理化

$$\frac{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}) \times \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \times \sqrt{2}}$$

$$\frac{\sqrt{2} + 2 + \sqrt{6}}{2 \times 2} = \frac{\sqrt{2} + 2 + \sqrt{6}}{4}$$

3. 最終的な答え

$\frac{2 + \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$