与えられた6つの式を因数分解する問題です。 (1) $2x^2y + 4xy$ (2) $4x^2 + 20x + 25$ (3) $16x^2 - 9y^2$ (4) $x^2 - xy - 6y^2$ (5) $3x^2 + 5x - 12$ (6) $3x^2 - 2xy - 8y^2$

1. 問題の内容

与えられた6つの式を因数分解する問題です。

(1) $2x^2y + 4xy$

(2) $4x^2 + 20x + 25$

(3) $16x^2 - 9y^2$

(4) $x^2 - xy - 6y^2$

(5) $3x^2 + 5x - 12$

(6) $3x^2 - 2xy - 8y^2$

2. 解き方の手順

(1) $2x^2y + 4xy$

共通因数 $2xy$ でくくります。

$2x^2y + 4xy = 2xy(x + 2)$

(2) $4x^2 + 20x + 25$

これは $(ax + b)^2$ の形になるかどうかを検討します。

$4x^2 = (2x)^2$

$25 = 5^2$

$2 \cdot (2x) \cdot 5 = 20x$

よって、$4x^2 + 20x + 25 = (2x + 5)^2$

(3) $16x^2 - 9y^2$

これは $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ の形を利用します。

$16x^2 = (4x)^2$

$9y^2 = (3y)^2$

よって、$16x^2 - 9y^2 = (4x + 3y)(4x - 3y)$

(4) $x^2 - xy - 6y^2$

$(x + ay)(x + by)$ の形になることを想定して、

$ab = -6$, $a + b = -1$ となる $a, b$ を探します。

$a = -3$, $b = 2$ が条件を満たします。

よって、$x^2 - xy - 6y^2 = (x - 3y)(x + 2y)$

(5) $3x^2 + 5x - 12$

$(ax + b)(cx + d)$ の形になることを想定します。

$ac = 3$, $bd = -12$, $ad + bc = 5$ となる $a, b, c, d$ を探します。

$a = 3, c = 1, b = -4, d = 3$ が条件を満たします。

よって、$3x^2 + 5x - 12 = (3x - 4)(x + 3)$

(6) $3x^2 - 2xy - 8y^2$

$(ax + by)(cx + dy)$ の形になることを想定します。

$ac = 3$, $bd = -8$, $ad + bc = -2$ となる $a, b, c, d$ を探します。

$a = 3, c = 1, b = 4y, d = -2y$ が条件を満たします。

よって、$3x^2 - 2xy - 8y^2 = (3x + 4y)(x - 2y)$

3. 最終的な答え

(1) $2xy(x + 2)$

(2) $(2x + 5)^2$

(3) $(4x + 3y)(4x - 3y)$

(4) $(x - 3y)(x + 2y)$

(5) $(3x - 4)(x + 3)$

(6) $(3x + 4y)(x - 2y)$