与えられた2変数多項式 $3x^2 - 14xy + 15y^2 + 13x - 23y + 4$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた2変数多項式 $3x^2 - 14xy + 15y^2 + 13x - 23y + 4$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$の2次式とみて整理します。

$3x^2 + (13 - 14y)x + (15y^2 - 23y + 4)$

次に、定数項 $15y^2 - 23y + 4$ を因数分解します。

$15y^2 - 23y + 4 = (3y - 4)(5y - 1)$

元の式を因数分解された形で表現できると仮定します。

$(ax + by + c)(dx + ey + f)$

定数項の因数分解の結果を利用して、

$(3x + Ay + B)(x + Cy + D)$ の形になることを仮定します。

$3x^2 - 14xy + 15y^2 + 13x - 23y + 4 = (3x + ay + b)(x + cy + d)$

を展開して係数を比較します。

$3x^2 + (3c+a)xy + acy^2 + (3d+b)x + (ad+bc)y + bd$

$= 3x^2 - 14xy + 15y^2 + 13x - 23y + 4$

$y^2$の係数比較 $ac = 15$

$xy$の係数比較 $3c + a = -14$

定数項の比較 $bd = 4$

$x$の係数比較 $3d+b = 13$

$y$の係数比較 $ad+bc = -23$

$15y^2 - 23y + 4 = (3y - 4)(5y - 1)$ より,

$(a,c)=(3,5)$ or $(5,3)$ or $(-3,-5)$ or $(-5,-3)$

$(b,d)=(4,1)$ or $(1,4)$ or $(2,2)$ or $(-4,-1)$ or $(-1,-4)$ or $(-2,-2)$

$3c+a = -14$に代入

$3(5)+a=-14$ より $a = -29$

$3(3)+a=-14$ より $a = -23$

$(3x+5y+b)(x+3y+d)$または$(3x+3y+b)(x+5y+d)$

$3d+b=13$と$bd=4$を満たす組み合わせを考えると、

$b=1, d=4$: $3(4)+1 = 13$　これは条件を満たす。

$b=4, d=1$: $3(1)+4 = 7 \neq 13$

$3x^2 - 14xy + 15y^2 + 13x - 23y + 4 = (3x + ay + 1)(x+cy+4)$

$(3x+5y+1)(x+3y+4) = 3x^2 + 9xy + 12x + 5xy + 15y^2 + 20y + x + 3y + 4 = 3x^2 + 14xy + 13x + 15y^2 + 23y + 4$

符号が異なるので間違い。

$(3x+5y+4)(x+3y+1) = 3x^2 + 9xy + 3x + 5xy + 15y^2 + 5y + 4x + 12y + 4 = 3x^2 + 14xy + 7x + 15y^2 + 17y + 4$

これも違う

$(3x-5y+1)(x-3y+4) = 3x^2 - 9xy + 12x - 5xy + 15y^2 - 20y + x - 3y + 4 = 3x^2 - 14xy + 13x + 15y^2 - 23y + 4$

したがって、$3x^2 - 14xy + 15y^2 + 13x - 23y + 4 = (3x - 5y + 1)(x - 3y + 4)$

3. 最終的な答え

$(3x - 5y + 1)(x - 3y + 4)$