与えられた式 $6x^2 - 11xy - 10y^2$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $6x^2 - 11xy - 10y^2$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

与えられた式は、二次式であるため、$(ax + by)(cx + dy)$ の形に因数分解できると考えられます。ここで、$a, b, c, d$ は整数です。

式を展開すると、

$acx^2 + (ad + bc)xy + bdy^2$

となります。

したがって、$ac = 6$, $ad + bc = -11$, $bd = -10$ を満たす整数 $a, b, c, d$ を見つける必要があります。

$ac = 6$ となる整数の組み合わせは、$(a, c) = (1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1)$ などがあります。

$bd = -10$ となる整数の組み合わせは、$(b, d) = (1, -10), (-1, 10), (2, -5), (-2, 5), (5, -2), (-5, 2), (10, -1), (-10, 1)$ などがあります。

これらの組み合わせから、$ad + bc = -11$ を満たすものを探します。

例えば、$(a, c) = (2, 3)$ と $(b, d) = (1, -10)$ を試すと、

$ad + bc = 2(-10) + 1(3) = -20 + 3 = -17$ となり、条件を満たしません。

次に、$(a, c) = (2, 3)$ と $(b, d) = (-2, 5)$ を試すと、

$ad + bc = 2(5) + (-2)(3) = 10 - 6 = 4$ となり、条件を満たしません。

次に、$(a, c) = (2, 3)$ と $(b, d) = (5, -2)$ を試すと、

$ad + bc = 2(-2) + (5)(3) = -4 + 15 = 11$ となり、絶対値は正しいですが符号が違うので、符号を反転させた $(b, d) = (-5, 2)$ を試します。

$ad + bc = 2(2) + (-5)(3) = 4 - 15 = -11$ となり、条件を満たします。

したがって、$(a, c) = (2, 3)$ と $(b, d) = (-5, 2)$ が正しい組み合わせです。

したがって、$6x^2 - 11xy - 10y^2 = (2x - 5y)(3x + 2y)$ となります。

3. 最終的な答え

$(2x - 5y)(3x + 2y)$