与えられた式 $2x^2 + xy - y^2$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 + xy - y^2$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

与えられた式を因数分解します。

まず、$2x^2 + xy - y^2$ を見て、これは $x$ と $y$ に関する二次式なので、$(ax + by)(cx + dy)$ の形に因数分解できると仮定します。ここで、$a, b, c, d$ は整数です。

$(ax + by)(cx + dy) = acx^2 + (ad + bc)xy + bdy^2$

係数を比較すると、以下のようになります。

$ac = 2$

$ad + bc = 1$

$bd = -1$

$bd = -1$ より、 $b = 1, d = -1$ または $b = -1, d = 1$ です。

場合1: $b = 1, d = -1$ のとき

$ad + bc = -a + c = 1$

$ac = 2$

$c = a + 1$ を $ac = 2$ に代入すると、$a(a + 1) = 2$

$a^2 + a - 2 = 0$

$(a + 2)(a - 1) = 0$

$a = -2$ または $a = 1$

$a = -2$ のとき、$c = -2 + 1 = -1$

$a = 1$ のとき、$c = 1 + 1 = 2$

$a = 1, c = 2, b = 1, d = -1$ のとき、$(x + y)(2x - y) = 2x^2 - xy + 2xy - y^2 = 2x^2 + xy - y^2$となり、これは与えられた式と一致します。

場合2: $b = -1, d = 1$ のとき

$ad + bc = a - c = 1$

$ac = 2$

$a = c + 1$ を $ac = 2$ に代入すると、$(c + 1)c = 2$

$c^2 + c - 2 = 0$

$(c + 2)(c - 1) = 0$

$c = -2$ または $c = 1$

$c = -2$ のとき、$a = -2 + 1 = -1$

$c = 1$ のとき、$a = 1 + 1 = 2$

$a = 2, c = 1, b = -1, d = 1$ のとき、$(2x - y)(x + y) = 2x^2 + 2xy - xy - y^2 = 2x^2 + xy - y^2$ となり、これは与えられた式と一致します。

したがって、$2x^2 + xy - y^2 = (x + y)(2x - y)$ です。

3. 最終的な答え

$(x+y)(2x-y)$