3個のサイコロを同時に投げたとき、出た目のうち最大値に1000円を掛けた金額が賞金として得られる。このとき得られる賞金の期待値を求め、小数点以下を切り捨てて整数で答える。

1. 問題の内容

3個のサイコロを同時に投げたとき、出た目のうち最大値に1000円を掛けた金額が賞金として得られる。このとき得られる賞金の期待値を求め、小数点以下を切り捨てて整数で答える。

2. 解き方の手順

まず、最大値が $k$ となる確率 $P(X=k)$ を求める。ここで、$k$ は1から6までの整数である。

最大値が $k$ であるとは、3つのサイコロの目がすべて $k$ 以下であり、かつ少なくとも1つは $k$ であることである。

3つのサイコロの目がすべて $k$ 以下である確率は $(\frac{k}{6})^3$ である。

3つのサイコロの目がすべて $k-1$ 以下である確率は $(\frac{k-1}{6})^3$ である。

したがって、最大値が $k$ である確率は、これらの差であり、

$P(X=k) = (\frac{k}{6})^3 - (\frac{k-1}{6})^3$

となる。

次に、賞金の期待値 $E$ を計算する。

$E = \sum_{k=1}^6 k \times 1000 \times P(X=k) = 1000 \sum_{k=1}^6 k [(\frac{k}{6})^3 - (\frac{k-1}{6})^3]$

$E = \frac{1000}{6^3} \sum_{k=1}^6 k[k^3 - (k-1)^3] = \frac{1000}{216} \sum_{k=1}^6 k[k^3 - (k^3 - 3k^2 + 3k - 1)] = \frac{1000}{216} \sum_{k=1}^6 k(3k^2 - 3k + 1) = \frac{1000}{216} \sum_{k=1}^6 (3k^3 - 3k^2 + k)$

$\sum_{k=1}^6 k = \frac{6(6+1)}{2} = 21$

$\sum_{k=1}^6 k^2 = \frac{6(6+1)(2(6)+1)}{6} = \frac{6 \times 7 \times 13}{6} = 91$

$\sum_{k=1}^6 k^3 = (\frac{6(6+1)}{2})^2 = 21^2 = 441$

$E = \frac{1000}{216} (3(441) - 3(91) + 21) = \frac{1000}{216} (1323 - 273 + 21) = \frac{1000}{216} (1071) = \frac{1071000}{216} = 4958.333...$

最後に、小数点以下を切り捨てると、4958となる。

3. 最終的な答え

4958 円