コインを3回投げる試行において、以下の事象に関する確率を求める問題です。 * 事象A: 1回目に表が出る * 事象B: 3回とも同じ側が出る * 事象C: 3回目は2回目と同じ側が出る * 事象D: 1回目と2回目は異なった側が出る (1) $P(A)$, $P(B)$ (2) $P(A \cap B)$, $P(A \cup B)$ (3) $P(\overline{A})$, $P(\overline{B})$ (4) $P(C|D)$ (5) $P(C \cap D)$, $P(C)P(D)$、事象CとDが独立かどうか

1. 問題の内容

コインを3回投げる試行において、以下の事象に関する確率を求める問題です。

* 事象A: 1回目に表が出る

* 事象B: 3回とも同じ側が出る

* 事象C: 3回目は2回目と同じ側が出る

* 事象D: 1回目と2回目は異なった側が出る

(1) $P(A)$, $P(B)$

(2) $P(A \cap B)$, $P(A \cup B)$

(3) $P(\overline{A})$, $P(\overline{B})$

(4) $P(C|D)$

(5) $P(C \cap D)$, $P(C)P(D)$、事象CとDが独立かどうか

2. 解き方の手順

まず、全事象は$2^3 = 8$通りです。

(1)

* 事象A: 1回目に表が出る。残りの2回の表裏は自由なので、$2^2=4$通り。よって、$P(A) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

* 事象B: 3回とも同じ側が出る。表表表、裏裏裏の2通り。よって、$P(B) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

(2)

* 事象A∩B: 1回目に表が出て、3回とも同じ側が出る。これは表表表の1通り。よって、$P(A \cap B) = \frac{1}{8}$.

* 事象A∪B: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{4+2-1}{8} = \frac{5}{8}$.

(3)

* 事象$\overline{A}$: 1回目に表が出ない。つまり裏が出る。$P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

* 事象$\overline{B}$: 3回とも同じ側が出ない。$P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

(4)

* 事象C: 3回目は2回目と同じ側が出る。つまり、2回目と3回目は同じ。

* 事象D: 1回目と2回目は異なる側が出る。

* 事象C∩D：1回目と2回目が異なり、2回目と3回目が同じ。例えば、表裏裏、裏表表。

* 事象Dのパターン：表裏表、表裏裏、裏表表、裏表裏の4通り

$P(C|D) = \frac{P(C \cap D)}{P(D)} = \frac{2/8}{4/8} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

(5)

* $P(C \cap D) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$. (上記(4)参照)

* $P(C) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$。 (事象Cは、1, 2回目がどちらでも良く、3回目が2回目と同じであれば良いので、$2*2=4$通り)

* $P(D) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$。(1, 2回目が異なるパターンは上記(4)参照)

* $P(C)P(D) = \frac{1}{2} * \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

* $P(C \cap D) = P(C)P(D)$であるため、CとDは独立。

3. 最終的な答え

(1) $P(A) = \frac{1}{2}$, $P(B) = \frac{1}{4}$

(2) $P(A \cap B) = \frac{1}{8}$, $P(A \cup B) = \frac{5}{8}$

(3) $P(\overline{A}) = \frac{1}{2}$, $P(\overline{B}) = \frac{3}{4}$

(4) $P(C|D) = \frac{1}{2}$

(5) $P(C \cap D) = \frac{1}{4}$, $P(C)P(D) = \frac{1}{4}$、事象CとDは独立。