V病という病気について、3000人に1人が発症する。1次検査の信頼率は97%である。 (1) 1次検査でV病であると判定された場合に、本当にV病にかかっている確率を求める。 (2) 1次検査でV病でないと判定されたにも関わらず、実際にはV病にかかっている確率を求める。

1. 問題の内容

V病という病気について、3000人に1人が発症する。1次検査の信頼率は97%である。

(1) 1次検査でV病であると判定された場合に、本当にV病にかかっている確率を求める。

(2) 1次検査でV病でないと判定されたにも関わらず、実際にはV病にかかっている確率を求める。

2. 解き方の手順

(1)

* V病にかかっている確率: $P(V) = \frac{1}{3000}$

* V病にかかっていない確率: $P(\neg V) = 1 - \frac{1}{3000} = \frac{2999}{3000}$

* 検査でV病と判定される確率 (V病にかかっている場合): $P(+\mid V) = 0.97$

* 検査でV病と判定される確率 (V病にかかっていない場合): $P(+\mid \neg V) = 1 - 0.97 = 0.03$

ベイズの定理を用いて、検査でV病と判定された場合に本当にV病にかかっている確率 $P(V \mid +)$ を求める。

$P(V \mid +) = \frac{P(+\mid V)P(V)}{P(+\mid V)P(V) + P(+\mid \neg V)P(\neg V)}$

$P(V \mid +) = \frac{0.97 \times \frac{1}{3000}}{0.97 \times \frac{1}{3000} + 0.03 \times \frac{2999}{3000}} = \frac{0.97}{0.97 + 0.03 \times 2999} = \frac{0.97}{0.97 + 89.97} = \frac{0.97}{90.94} \approx 0.010666$

(2)

* V病にかかっている確率: $P(V) = \frac{1}{3000}$

* V病にかかっていない確率: $P(\neg V) = 1 - \frac{1}{3000} = \frac{2999}{3000}$

* 検査でV病でないと判定される確率 (V病にかかっている場合): $P(-\mid V) = 1 - 0.97 = 0.03$

* 検査でV病でないと判定される確率 (V病にかかっていない場合): $P(-\mid \neg V) = 0.97$

ベイズの定理を用いて、検査でV病でないと判定されたにもかかわらず、実際にはV病にかかっている確率 $P(V \mid -)$ を求める。

$P(V \mid -) = \frac{P(-\mid V)P(V)}{P(-\mid V)P(V) + P(-\mid \neg V)P(\neg V)}$

$P(V \mid -) = \frac{0.03 \times \frac{1}{3000}}{0.03 \times \frac{1}{3000} + 0.97 \times \frac{2999}{3000}} = \frac{0.03}{0.03 + 0.97 \times 2999} = \frac{0.03}{0.03 + 2909.03} = \frac{0.03}{2909.06} \approx 0.00001031$

3. 最終的な答え

(1) 約0.0107

(2) 約0.0000103