サイコロの出目を確率変数 $X$ とし、$X$ の期待値 $E[X]$ と分散 $V[X]$ を求める。次に、出た目の数に応じて賞金 $Y$ がもらえるとき、$Y$ を $X$ で表し、$Y$ の期待値 $E[Y]$ と分散 $V[Y]$ を求める。

1. 問題の内容

サイコロの出目を確率変数 $X$ とし、$X$ の期待値 $E[X]$ と分散 $V[X]$ を求める。次に、出た目の数に応じて賞金 $Y$ がもらえるとき、$Y$ を $X$ で表し、$Y$ の期待値 $E[Y]$ と分散 $V[Y]$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 確率変数 $X$ (サイコロの出目) は、1から6までの値を等確率 $\frac{1}{6}$ でとる。

$E[X] = \sum_{i=1}^{6} i \cdot \frac{1}{6} = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$

$E[X^2] = \sum_{i=1}^{6} i^2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6} = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6}$

$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{91}{6} - (\frac{7}{2})^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12}$

(2) $Y$ は $X$ の一次関数で表される。

出た目の数 $X$ と賞金 $Y$ の関係は、

$X=1$ のとき $Y=500$

$X=2$ のとき $Y=600$

$X=3$ のとき $Y=700$

$X=4$ のとき $Y=800$

$X=5$ のとき $Y=900$

$X=6$ のとき $Y=1000$

$Y = aX + b$ とおくと、

$500 = a+b$

$600 = 2a+b$

これを解くと、$a=100, b=400$

したがって、$Y = 100X + 400$

(3) $E[Y] = E[100X + 400] = 100E[X] + 400 = 100 \cdot \frac{7}{2} + 400 = 350 + 400 = 750$

$V[Y] = V[100X + 400] = 100^2 V[X] = 10000 \cdot \frac{35}{12} = \frac{350000}{12} = \frac{87500}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $E[X] = \frac{7}{2}$, $V[X] = \frac{35}{12}$

(2) $Y = 100X + 400$

(3) $E[Y] = 750$, $V[Y] = \frac{87500}{3}$