1つのサイコロを100回投げるとき、1の目が出る回数を確率変数Xとする。このとき、確率変数Xの期待値E[X]と分散V[X]を求めよ。

1. 問題の内容

1つのサイコロを100回投げるとき、1の目が出る回数を確率変数Xとする。このとき、確率変数Xの期待値E[X]と分散V[X]を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題は二項分布の問題です。1回の試行で1の目が出る確率は $p = \frac{1}{6}$ であり、1の目が出ない確率は $1-p = \frac{5}{6}$ です。試行回数は $n = 100$ です。

確率変数Xは二項分布に従うので、$X \sim B(100, \frac{1}{6})$ と表すことができます。

二項分布の期待値と分散は以下の公式で求めることができます。

期待値:

$E[X] = np$

分散:

$V[X] = np(1-p)$

これらの公式に $n = 100$ と $p = \frac{1}{6}$ を代入して計算します。

$E[X] = 100 \times \frac{1}{6} = \frac{100}{6} = \frac{50}{3}$

$V[X] = 100 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{500}{36} = \frac{125}{9}$

3. 最終的な答え

$E[X] = \frac{50}{3}$

$V[X] = \frac{125}{9}$