V病は3000人に1人の割合で発症する難病であり、1次検査の信頼率（正しく判定される割合）は97%である。 (1) 1次検査の結果、V病であると判定された場合、本当にV病にかかっている確率を求める。 (2) 1次検査の結果、V病でないと判定されたにも関わらず、本当はV病にかかっている確率を求める。

1. 問題の内容

V病は3000人に1人の割合で発症する難病であり、1次検査の信頼率（正しく判定される割合）は97%である。

(1) 1次検査の結果、V病であると判定された場合、本当にV病にかかっている確率を求める。

(2) 1次検査の結果、V病でないと判定されたにも関わらず、本当はV病にかかっている確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) ベイズの定理を用いて、V病であると判定された場合に、本当にV病にかかっている確率を計算する。

事象を以下のように定義する。

* A：V病にかかっている

* B：V病であると判定される

与えられた情報は以下の通り。

* $P(A) = \frac{1}{3000}$ (V病にかかっている確率)

* $P(B|A) = 0.97$ (V病にかかっている人がV病であると判定される確率)

* $P(\overline{A}) = 1 - P(A) = \frac{2999}{3000}$ (V病にかかっていない確率)

* $P(B|\overline{A}) = 1 - 0.97 = 0.03$ (V病にかかっていない人がV病であると判定される確率)

求める確率は$P(A|B)$であり、ベイズの定理より、

$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$

ここで、$P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|\overline{A})P(\overline{A})$なので、

$P(B) = 0.97 \times \frac{1}{3000} + 0.03 \times \frac{2999}{3000} = \frac{0.97 + 0.03 \times 2999}{3000} = \frac{0.97 + 89.97}{3000} = \frac{90.94}{3000}$

したがって、$P(A|B) = \frac{0.97 \times \frac{1}{3000}}{\frac{90.94}{3000}} = \frac{0.97}{90.94} \approx 0.010666$

小数第4位を四捨五入すると、約0.011となる。

(2) 同様にベイズの定理を用いて、V病でないと判定されたにも関わらず、本当はV病にかかっている確率を計算する。

事象を以下のように定義する。

* A：V病にかかっている

* $\overline{B}$：V病でないと判定される

与えられた情報は以下の通り。

* $P(A) = \frac{1}{3000}$ (V病にかかっている確率)

* $P(\overline{B}|A) = 1 - 0.97 = 0.03$ (V病にかかっている人がV病でないと判定される確率)

* $P(\overline{A}) = 1 - P(A) = \frac{2999}{3000}$ (V病にかかっていない確率)

* $P(\overline{B}|\overline{A}) = 0.97$ (V病にかかっていない人がV病でないと判定される確率)

求める確率は$P(A|\overline{B})$であり、ベイズの定理より、

$P(A|\overline{B}) = \frac{P(\overline{B}|A)P(A)}{P(\overline{B})}$

ここで、$P(\overline{B}) = P(\overline{B}|A)P(A) + P(\overline{B}|\overline{A})P(\overline{A})$なので、

$P(\overline{B}) = 0.03 \times \frac{1}{3000} + 0.97 \times \frac{2999}{3000} = \frac{0.03 + 0.97 \times 2999}{3000} = \frac{0.03 + 2909.03}{3000} = \frac{2909.06}{3000}$

したがって、$P(A|\overline{B}) = \frac{0.03 \times \frac{1}{3000}}{\frac{2909.06}{3000}} = \frac{0.03}{2909.06} \approx 0.00001031$

約0.00001となる。

3. 最終的な答え

(1) 約0.011

(2) 約0.00001