サイコロを投げたときの目の数を確率変数 $X$ とし、$X$ の期待値 $E[X]$、分散 $V[X]$ を求める。 また、サイコロの出た目に応じて賞金 $Y$ がもらえるとき、$Y$ と $X$ の関係式、$Y$ の期待値 $E[Y]$、分散 $V[Y]$ を求める。

1. 問題の内容

サイコロを投げたときの目の数を確率変数 $X$ とし、$X$ の期待値 $E[X]$、分散 $V[X]$ を求める。

また、サイコロの出た目に応じて賞金 $Y$ がもらえるとき、$Y$ と $X$ の関係式、$Y$ の期待値 $E[Y]$、分散 $V[Y]$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $X$ は1から6の整数を一様にとる確率変数なので、

$E[X] = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3.5$

$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2$

$E[X^2] = \frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6} = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6}$

$V[X] = \frac{91}{6} - (\frac{7}{2})^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12}$

(2) $Y$ は $X$ の一次関数で表せる。

$Y = aX + b$ とおくと、

$X=1$ のとき $Y=500$ なので、$500 = a + b$

$X=2$ のとき $Y=600$ なので、$600 = 2a + b$

2式を引き算すると、$100 = a$

$b = 500 - a = 500 - 100 = 400$

よって、$Y = 100X + 400$

(3) $E[Y] = E[100X + 400] = 100E[X] + 400 = 100 \cdot \frac{7}{2} + 400 = 350 + 400 = 750$

$V[Y] = V[100X + 400] = 100^2 V[X] = 10000 \cdot \frac{35}{12} = \frac{350000}{12} = \frac{87500}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $E[X] = \frac{7}{2}$、 $V[X] = \frac{35}{12}$

(2) $Y = 100X + 400$

(3) $E[Y] = 750$、$V[Y] = \frac{87500}{3}$