サイコロを投げたときの出目を確率変数 $X$ とし、その期待値 $E[X]$ と分散 $V[X]$ を求める。また、出目に応じて賞金 $Y$ 円がもらえるとき、$Y$ を $X$ で表し、$Y$ の期待値 $E[Y]$ と分散 $V[Y]$ を求める。

1. 問題の内容

サイコロを投げたときの出目を確率変数 $X$ とし、その期待値 $E[X]$ と分散 $V[X]$ を求める。また、出目に応じて賞金 $Y$ 円がもらえるとき、$Y$ を $X$ で表し、$Y$ の期待値 $E[Y]$ と分散 $V[Y]$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 期待値 $E[X]$ は、各出目の値にその確率をかけて足し合わせたものです。サイコロの各目の出る確率は $1/6$ なので、

$$$$

E[X] = \frac{1}{6}(1+2+3+4+5+6) = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}

$$$$

分散 $V[X]$ は、$E[X^2] - (E[X])^2$ で求められます。

$E[X^2]$ は、各出目の2乗にその確率をかけて足し合わせたものです。

$$$$

E[X^2] = \frac{1}{6}(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2) = \frac{1}{6}(1+4+9+16+25+36) = \frac{91}{6}

$$$$

したがって、

$$$$

V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{91}{6} - (\frac{7}{2})^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12}

$$$$

(2) $Y$ を $X$ で表すために、$Y = aX + b$ とおきます。

$X = 1$ のとき $Y = 500$, $X = 2$ のとき $Y = 600$ なので、

$500 = a + b$

$600 = 2a + b$

この連立方程式を解くと、$a = 100$、$b = 400$ となります。

したがって、$Y = 100X + 400$

(3) $E[Y]$ は $E[100X + 400] = 100E[X] + 400$ で計算できます。

$E[X] = 7/2$ なので、

$E[Y] = 100(\frac{7}{2}) + 400 = 350 + 400 = 750$

$V[Y]$ は $V[100X + 400] = 100^2 V[X]$ で計算できます。

$V[X] = 35/12$ なので、

$V[Y] = 10000 \times \frac{35}{12} = \frac{350000}{12} = \frac{87500}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $E[X] = \frac{7}{2}$, $V[X] = \frac{35}{12}$

(2) $Y = 100X + 400$

(3) $E[Y] = 750$, $V[Y] = \frac{87500}{3}$