一つのサイコロを投げたときの出る目の数を確率変数 $X$ とし、$X$ の期待値 $E[X]$ と分散 $V[X]$ を求めます。次に、サイコロの出た目に応じて賞金 $Y$ 円がもらえるとき、$Y$ を $X$ の式で表し、$Y$ の期待値 $E[Y]$ と分散 $V[Y]$ を求めます。

1. 問題の内容

一つのサイコロを投げたときの出る目の数を確率変数 $X$ とし、$X$ の期待値 $E[X]$ と分散 $V[X]$ を求めます。次に、サイコロの出た目に応じて賞金 $Y$ 円がもらえるとき、$Y$ を $X$ の式で表し、$Y$ の期待値 $E[Y]$ と分散 $V[Y]$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 確率変数 $X$ は1から6の値を取り、それぞれの確率は $1/6$ です。

期待値 $E[X]$ は、各値とその確率の積の和で求められます。

$E[X] = \sum_{i=1}^{6} i \cdot \frac{1}{6} = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$

分散 $V[X]$ は、$E[X^2] - (E[X])^2$ で求められます。まず、$E[X^2]$ を計算します。

$E[X^2] = \sum_{i=1}^{6} i^2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6} = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6}$

$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{91}{6} - (\frac{7}{2})^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182-147}{12} = \frac{35}{12}$

(2) 賞金 $Y$ は出た目の数 $X$ に応じて変化します。$X=1$ のとき $Y=500$, $X=2$ のとき $Y=600$ となります。$Y$ は $X$ について一次関数で表せると考え、$Y=aX+b$ の形とします。

$X=1$ のとき $Y=500$ なので、$500 = a(1) + b$。

$X=2$ のとき $Y=600$ なので、$600 = a(2) + b$。

これらの連立方程式を解きます。

$600-500 = 2a - a$ より $a=100$。

$500 = 100 + b$ より $b=400$。

したがって、$Y = 100X + 400$ となります。

(3) $E[Y]$ と $V[Y]$ を求めます。

$E[Y] = E[100X+400] = 100E[X] + 400 = 100 \cdot \frac{7}{2} + 400 = 350 + 400 = 750$

$V[Y] = V[100X+400] = 100^2V[X] = 10000 \cdot \frac{35}{12} = \frac{350000}{12} = \frac{87500}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $E[X] = \frac{7}{2}$, $V[X] = \frac{35}{12}$

(2) $Y = 100X + 400$

(3) $E[Y] = 750$, $V[Y] = \frac{87500}{3}$