問題は $x^4 + 4y^4$ を因数分解することです。途中の計算過程が一部示されています。

1. 問題の内容

問題は $x^4 + 4y^4$ を因数分解することです。途中の計算過程が一部示されています。

2. 解き方の手順

与えられた式を平方の差の形に変形することを目指します。

まず、$x^4 + 4y^4$ に $4x^2y^2$ を加えて引きます。

$x^4 + 4y^4 = x^4 + 4x^2y^2 + 4y^4 - 4x^2y^2$

右辺の最初の３項は $(x^2 + 2y^2)^2$ と変形できます。したがって、

$x^4 + 4y^4 = (x^2 + 2y^2)^2 - (2xy)^2$

これは平方の差の形 $a^2 - b^2$ です。ここで、$a = x^2 + 2y^2$、$b = 2xy$ です。平方の差の公式 $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ を適用すると、

$(x^2 + 2y^2)^2 - (2xy)^2 = (x^2 + 2y^2 + 2xy)(x^2 + 2y^2 - 2xy)$

通常、$x$ について降べきの順に並べます。

$(x^2 + 2xy + 2y^2)(x^2 - 2xy + 2y^2)$

3. 最終的な答え

$(x^2 + 2xy + 2y^2)(x^2 - 2xy + 2y^2)$