整式 $A = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$ を整式 $B = x - 2$ で割ったときの商と余りを求める問題です。

はい、承知いたしました。それでは、問題 (3) を解きます。

1. 問題の内容

整式 $A = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$ を整式 $B = x - 2$ で割ったときの商と余りを求める問題です。

2. 解き方の手順

筆算を用いて多項式の割り算を行います。

まず、$x^3$ を $x$ で割ると $x^2$ なので、商の最初の項は $x^2$ となります。

$x^2$ に $x - 2$ をかけると、$x^3 - 2x^2$ となります。

$A$ から $x^3 - 2x^2$ を引くと、$-x^2 + 4x + 1$ となります。

次に、$-x^2$ を $x$ で割ると $-x$ なので、商の次の項は $-x$ となります。

$-x$ に $x - 2$ をかけると、$-x^2 + 2x$ となります。

$-x^2 + 4x + 1$ から $-x^2 + 2x$ を引くと、$2x + 1$ となります。

最後に、$2x$ を $x$ で割ると $2$ なので、商の最後の項は $2$ となります。

$2$ に $x - 2$ をかけると、$2x - 4$ となります。

$2x + 1$ から $2x - 4$ を引くと、$5$ となります。

したがって、商は $x^2 - x + 2$ で、余りは $5$ となります。

3. 最終的な答え

商: $x^2 - x + 2$

余り: $5$