数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 2$, $a_2 = 3$, $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$ ($n=1, 2, 3, ...$) で定義されるとき、以下の問いに答える問題です。 (1) 全ての自然数 $n$ に対して、$a_n > n$ であることを証明する。 (2) 命題「$a_n$ が偶数ならば、$a_n$ の素因数は $2$ だけである」の真偽を調べる。 (3) 命題「全ての自然数 $n$ に対して、$\frac{a_{n+1}}{a_n}$ は整数ではない」の真偽を調べる。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 2$, $a_2 = 3$, $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$ ($n=1, 2, 3, ...$) で定義されるとき、以下の問いに答える問題です。

(1) 全ての自然数 $n$ に対して、$a_n > n$ であることを証明する。

(2) 命題「$a_n$ が偶数ならば、$a_n$ の素因数は $2$ だけである」の真偽を調べる。

(3) 命題「全ての自然数 $n$ に対して、$\frac{a_{n+1}}{a_n}$ は整数ではない」の真偽を調べる。

2. 解き方の手順

(1) 数学的帰納法で証明します。

(i) $n=1$ のとき、$a_1 = 2 > 1$ なので成立します。

$n=2$ のとき、$a_2 = 3 > 2$ なので成立します。

(ii) $n=k$, $n=k+1$ のとき、$a_k > k$ と $a_{k+1} > k+1$ が成立すると仮定します。

$n=k+2$ のとき、$a_{k+2} = a_{k+1} + a_k > (k+1) + k = 2k+1$ となります。

$k \ge 1$ のとき、$2k+1 > k+2$ が成立するので、$a_{k+2} > k+2$ が成立します。

したがって、数学的帰納法により、全ての自然数 $n$ に対して、$a_n > n$ が成立します。

(2) $a_1 = 2$, $a_2 = 3$, $a_3 = 5$, $a_4 = 8$, $a_5 = 13$, $a_6 = 21$, $a_7 = 34$, $a_8 = 55$, $a_9 = 89$, $a_{10} = 144$, $a_{11} = 233$, $a_{12} = 377$, ...

$a_n$ が偶数であるものは、$a_1 = 2$, $a_4 = 8$, $a_7 = 34$, $a_{10} = 144$, ... です。

$a_1 = 2$ の素因数は $2$ のみです。

$a_4 = 8 = 2^3$ の素因数は $2$ のみです。

$a_7 = 34 = 2 \times 17$ の素因数は $2$ と $17$ です。

よって、命題は偽であり、反例は $n=7$ です。

(3) $\frac{a_2}{a_1} = \frac{3}{2}$, $\frac{a_3}{a_2} = \frac{5}{3}$, $\frac{a_4}{a_3} = \frac{8}{5}$, $\frac{a_5}{a_4} = \frac{13}{8}$, $\frac{a_6}{a_5} = \frac{21}{13}$, $\frac{a_7}{a_6} = \frac{34}{21}$, $\frac{a_8}{a_7} = \frac{55}{34}$, $\frac{a_9}{a_8} = \frac{89}{55}$, $\frac{a_{10}}{a_9} = \frac{144}{89}$, $\frac{a_{11}}{a_{10}} = \frac{233}{144}$, $\frac{a_{12}}{a_{11}} = \frac{377}{233}$

これらの値はすべて整数ではありません。しかし、$\frac{a_{n+1}}{a_n}$ は整数になることはあり得ます。

$a_n$ が常に整数になるとは限らないので、命題は真である可能性が高いですが、証明が必要です。

もしある $n$ に対して $\frac{a_{n+1}}{a_n} = k$ (整数) が成立したと仮定すると、$a_{n+1} = k a_n$ となります。

$a_{n+2} = a_{n+1} + a_n = k a_n + a_n = (k+1) a_n$

$\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}} = \frac{(k+1) a_n}{k a_n} = \frac{k+1}{k}$

$k$ が整数の場合、$\frac{k+1}{k}$ も整数になるのは $k=1$ の時のみです。

もし $k=1$ なら、$a_{n+1} = a_n$ でなければなりませんが、$a_1 = 2$, $a_2 = 3$ なので、そのような $n$ は存在しません。

したがって、命題は真です。

(厳密な証明は難しいですが、経験的に真であると判断できます。)

3. 最終的な答え

(1) 証明完了

(2) 偽, 反例: $n=7$

(3) 真 (証明は難しいですが、真であると判断)