整数 $a$ について、「$a^2 + 2$ が 3 の倍数ならば、$a$ は 3 の倍数ではない」ことを対偶を用いて証明する問題です。

1. 問題の内容

整数 $a$ について、「$a^2 + 2$ が 3 の倍数ならば、$a$ は 3 の倍数ではない」ことを対偶を用いて証明する問題です。

2. 解き方の手順

元の命題「$a^2 + 2$ が 3 の倍数ならば、$a$ は 3 の倍数ではない」の対偶は、「$a$ が 3 の倍数ならば、$a^2 + 2$ は 3 の倍数ではない」です。

この対偶を証明します。

$a$ が 3 の倍数であるとき、$a = 3k$ （$k$ は整数）と表すことができます。

このとき、$a^2 + 2$ は

$a^2 + 2 = (3k)^2 + 2 = 9k^2 + 2 = 3(3k^2) + 2$

となります。

$3k^2$ は整数なので、$3(3k^2)$ は 3 の倍数です。したがって、$3(3k^2) + 2$ は 3 の倍数に 2 を加えた数であり、3 の倍数ではありません。

したがって、「$a$ が 3 の倍数ならば、$a^2 + 2$ は 3 の倍数ではない」が証明されました。

対偶が真なので、元の命題「$a^2 + 2$ が 3 の倍数ならば、$a$ は 3 の倍数ではない」も真です。

3. 最終的な答え

整数 $a$ について、$a^2 + 2$ が 3 の倍数ならば、$a$ は 3 の倍数ではない。