自然数の列を、第 $n$ 群に $2^{n-1}$ 個の数が入るようにグループ分けする。 (1) 第 $n$ 群の最初の数を $n$ の式で表す。 (2) 第 $n$ 群に入るすべての数の和 $S$ を求める。

1. 問題の内容

自然数の列を、第 $n$ 群に $2^{n-1}$ 個の数が入るようにグループ分けする。

(1) 第 $n$ 群の最初の数を $n$ の式で表す。

(2) 第 $n$ 群に入るすべての数の和 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 第 $n$ 群の最初の数を求める。

第 $n$ 群の最初の数は、第 $(n-1)$ 群までの項数の和に1を加えたものである。

第 $k$ 群の項数は $2^{k-1}$ であるから、第 $(n-1)$ 群までの項数の和は、

$$\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = 1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-2}$$

これは初項1、公比2の等比数列の和であるから、

$$\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = \frac{1 \cdot (2^{n-1} - 1)}{2 - 1} = 2^{n-1} - 1$$

したがって、第 $n$ 群の最初の数は $2^{n-1} - 1 + 1 = 2^{n-1}$ となる。

(2) 第 $n$ 群に入るすべての数の和 $S$ を求める。

第 $n$ 群は $2^{n-1}$ 個の数からなり、最初の数は $2^{n-1}$ である。

したがって、第 $n$ 群の最後の数は、$2^{n-1} + 2^{n-1} - 1 = 2 \cdot 2^{n-1} - 1 = 2^n - 1$ となる。

よって、第 $n$ 群に入る数の和 $S$ は、初項 $2^{n-1}$、末項 $2^n - 1$、項数 $2^{n-1}$ の等差数列の和として計算できる。

$$S = \frac{2^{n-1} (2^{n-1} + 2^n - 1)}{2} = 2^{n-2} (2^{n-1} + 2^n - 1) = 2^{n-2} (2^{n-1} + 2 \cdot 2^{n-1} - 1) = 2^{n-2} (3 \cdot 2^{n-1} - 1) = 3 \cdot 2^{2n-3} - 2^{n-2}$$

3. 最終的な答え

(1) 第 $n$ 群の最初の数: $2^{n-1}$

(2) 第 $n$ 群に入るすべての数の和 $S$: $3 \cdot 2^{2n-3} - 2^{n-2}$