(1) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3}$ を満たす自然数 $x, y$ ($x \le y$) の組を求めます。 (2) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{4}{3}$ を満たす自然数 $x, y, z$ ($x \le y \le z$) の組の個数と、$x+y+z$ の最大値を求めます。

1. 問題の内容

(1) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3}$ を満たす自然数 $x, y$ ($x \le y$) の組を求めます。

(2) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{4}{3}$ を満たす自然数 $x, y, z$ ($x \le y \le z$) の組の個数と、$x+y+z$ の最大値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3}$ より、$3x+3y = xy$。

変形して、$xy - 3x - 3y = 0$。

両辺に9を加えて、$xy - 3x - 3y + 9 = 9$。

$(x-3)(y-3) = 9$。

$x, y$ は自然数なので、$x-3, y-3$ は整数であり、$x \le y$ より $x-3 \le y-3$。

9の約数の組は $(1,9), (3,3), (-9, -1), (-3, -3), (-1, -9)$ である。

このうち、$x-3 \le y-3$ を満たすものは、$(1,9), (3,3), (-9, -1), (-3, -3)$

それぞれに対応する $x, y$ の組は、$(4,12), (6,6), (-6, 2), (0,0)$ となる。

ただし、$x,y$は自然数なので、$(4,12), (6,6)$ のみである。

よって、$(x, y) = (4, 12), (6, 6)$。

(2)

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{4}{3}$ を満たす自然数 $x, y, z$ ($x \le y \le z$) の組の個数と、$x+y+z$ の最大値を求めます。

まず、$x, y, z$ は自然数なので、$x,y,z \ge 1$ であるから、$\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z} \le 1$。

$x \le y \le z$ より、$\frac{1}{x} \ge \frac{1}{y} \ge \frac{1}{z}$ なので、$\frac{3}{x} \ge \frac{4}{3}$。

よって、$9 \ge 4x$。

$x \le \frac{9}{4} = 2.25$ となるため、$x=1$ または $x=2$ である。

$x=1$ のとき、$\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$。

これは (1) と同じなので、$(y,z) = (4, 12), (6, 6)$。

$x=2$ のとき、$\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{4}{3} - \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$。

$\frac{2}{y} \ge \frac{5}{6}$ より、$12 \ge 5y$。

$y \le \frac{12}{5} = 2.4$ となるため、$y=2$ である。

$\frac{1}{z} = \frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$。

よって、$z=3$。

以上より、$(x, y, z) = (1, 4, 12), (1, 6, 6), (2, 2, 3)$ の3組。

ただし、$x\le y \le z$であるから、これらの並び替えを考慮する必要がある。

(1, 4, 12) の並び替えは6通り。

(1, 6, 6) の並び替えは3通り。

(2, 2, 3) の並び替えは3通り。

よって、合計12通り。

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{4}{3}$ を満たす自然数 $x, y, z$ ($x \le y \le z$) の組は、

(1, 4, 12) から (1, 4, 12), (1, 12, 4), (4, 1, 12), (4, 12, 1), (12, 1, 4), (12, 4, 1)。

(1, 6, 6) から (1, 6, 6), (6, 1, 6), (6, 6, 1)。

(2, 2, 3) から (2, 2, 3), (2, 3, 2), (3, 2, 2)。

$x\le y\le z$を満たす組は、(1,4,12), (1,6,6), (2,2,3)の3組である。

組の個数は3個。

$x+y+z$ の最大値を考える。

(1, 4, 12) のとき、$x+y+z = 1+4+12 = 17$。

(1, 6, 6) のとき、$x+y+z = 1+6+6 = 13$。

(2, 2, 3) のとき、$x+y+z = 2+2+3 = 7$。

したがって、$x+y+z$ の最大値は17である。

3. 最終的な答え

55：4

56：12

57：6

58：6

59：3

60：3

61：17

62：