自然数 $n$ について、$n+2$ が3の倍数、$n+5$ が7の倍数となる、$n < 300$を満たす $n$ の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

自然数 $n$ について、$n+2$ が3の倍数、$n+5$ が7の倍数となる、$n < 300$を満たす $n$ の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$n+2$ が3の倍数であることから、$n+2 = 3k$ （$k$ は整数）と表せます。したがって、$n = 3k - 2$となります。

次に、$n+5$ が7の倍数であることから、$n+5 = 7l$ （$l$ は整数）と表せます。したがって、$n = 7l - 5$となります。

これら2つの式から、$3k - 2 = 7l - 5$が成り立ちます。これを変形すると、$3k = 7l - 3$となります。さらに、$k = \frac{7l - 3}{3}$となります。

$k$ が整数となるためには、$7l - 3$ が3の倍数である必要があります。言い換えると、$7l - 3 \equiv 0 \pmod{3}$です。

$7l - 3 \equiv l \pmod{3}$ なので、$l \equiv 0 \pmod{3}$。つまり、$l$ は3の倍数です。よって、$l = 3m$ （$m$ は整数）と表せます。

これを $n = 7l - 5$ に代入すると、$n = 7(3m) - 5 = 21m - 5$となります。

$n$ は自然数なので、$21m - 5 > 0$を満たす必要があります。つまり、$21m > 5$であり、$m > \frac{5}{21}$なので、$m \geq 1$となります。

また、$n < 300$なので、$21m - 5 < 300$を満たす必要があります。つまり、$21m < 305$であり、$m < \frac{305}{21} \approx 14.52$なので、$m \leq 14$となります。

したがって、$m$ は $1 \leq m \leq 14$ の範囲の整数を取りえます。この範囲に整数は14個存在するため、$n$ の個数も14個となります。

3. 最終的な答え

ウ 14個