784の正の約数の個数と、$n/784$ が1より小さい既約分数となるような正の整数 $n$ の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

784の正の約数の個数と、$n/784$ が1より小さい既約分数となるような正の整数 $n$ の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 784の正の約数の個数を求める。

まず、784を素因数分解します。

$784 = 2^4 \times 7^2$

正の約数の個数は、素因数の指数のそれぞれに1を足したものの積で計算できます。

したがって、784の正の約数の個数は $(4+1) \times (2+1) = 5 \times 3 = 15$ 個です。

(2) $n/784$ が1より小さい既約分数となるような正の整数 $n$ の個数を求める。

$n/784$ が既約分数であるということは、$n$ と 784 が互いに素であることを意味します。

$n/784$ が1より小さいということは、$n < 784$ であることを意味します。

したがって、求める個数は、784以下の正の整数のうち、784と互いに素なものの個数、すなわちオイラー関数 $\phi(784)$ の値を求めればよいことになります。

$\phi(784) = \phi(2^4 \times 7^2) = \phi(2^4) \times \phi(7^2)$

$\phi(p^k) = p^k - p^{k-1}$ (ただし、$p$ は素数) を使うと、

$\phi(2^4) = 2^4 - 2^3 = 16 - 8 = 8$

$\phi(7^2) = 7^2 - 7^1 = 49 - 7 = 42$

したがって、$\phi(784) = 8 \times 42 = 336$ 個です。

3. 最終的な答え

784の正の約数は全部で 15 個ある。

$n/784$ が1より小さい既約分数である正の整数 $n$ は全部で 336 個ある。