自然数 $n$ の各桁の数字の和を $S(n)$ で表す。 (1) $n + S(n) = 100$ を満たす自然数 $n$ を求める。 (2) $n + S(n) = 1988$ を満たす自然数 $n$ を求める。

1. 問題の内容

自然数 $n$ の各桁の数字の和を $S(n)$ で表す。

(1) $n + S(n) = 100$ を満たす自然数 $n$ を求める。

(2) $n + S(n) = 1988$ を満たす自然数 $n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $n + S(n) = 100$ の場合

$n$ は2桁の数である可能性が高いので、$n=10a+b$ （$a$ は1から9までの整数、$b$ は0から9までの整数）とおく。

このとき、$S(n)=a+b$ となるので、与えられた式は

$10a + b + a + b = 100$

$11a + 2b = 100$

$2b = 100 - 11a$

$b = 50 - \frac{11}{2}a$

$a$ と $b$ は整数なので、$a$ は偶数でなければならない。

$a = 2$ のとき $b = 50 - 11 = 39$ となり、$0 \le b \le 9$ を満たさない。

$a = 4$ のとき $b = 50 - 22 = 28$ となり、$0 \le b \le 9$ を満たさない。

$a = 6$ のとき $b = 50 - 33 = 17$ となり、$0 \le b \le 9$ を満たさない。

$a = 8$ のとき $b = 50 - 44 = 6$ となり、$0 \le b \le 9$ を満たす。

したがって、$a=8$、$b=6$ となり、$n = 10a + b = 86$ となる。

実際に $86 + S(86) = 86 + (8+6) = 86 + 14 = 100$ となるので、$n=86$ は条件を満たす。

(2) $n + S(n) = 1988$ の場合

$n$ は4桁の数である可能性が高いので、$n=1000a+100b+10c+d$ （$a$ は1から9までの整数、$b,c,d$ は0から9までの整数）とおく。

このとき、$S(n)=a+b+c+d$ となるので、与えられた式は

$1000a + 100b + 10c + d + a + b + c + d = 1988$

$1001a + 101b + 11c + 2d = 1988$

$a=1$ のとき

$1001 + 101b + 11c + 2d = 1988$

$101b + 11c + 2d = 987$

$b=9$ のとき

$909 + 11c + 2d = 987$

$11c + 2d = 78$

$c=7$ のとき

$77+2d = 78$

$2d = 1$ となり、$d$ が整数にならない。

$c=6$ のとき

$66 + 2d = 78$

$2d = 12$

$d = 6$

したがって、$a=1, b=9, c=6, d=6$ となり、$n=1966$ となる。

実際に $1966 + S(1966) = 1966 + (1+9+6+6) = 1966 + 22 = 1988$ となるので、$n=1966$ は条件を満たす。

3. 最終的な答え

(1) $n = 86$

(2) $n = 1966$