$0.4^n$ が小数第3位に初めて0でない数字が現れるような自然数 $n$ を全て求めよ。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$ とする。

## 問題7

1. 問題の内容

$0.4^n$ が小数第3位に初めて0でない数字が現れるような自然数 $n$ を全て求めよ。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$ とする。

2. 解き方の手順

小数第3位に初めて0でない数字が現れるということは、

$0.01 \le 0.4^n < 0.1$

となることを意味する。

対数をとる前に、0.4 を既約分数にする。 $0.4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

したがって、

$0.01 \le (\frac{2}{5})^n < 0.1$

底が10の対数をとる。

$\log_{10}0.01 \le \log_{10}(\frac{2}{5})^n < \log_{10}0.1$

$\log_{10}10^{-2} \le n\log_{10}(\frac{2}{5}) < \log_{10}10^{-1}$

$-2 \le n(\log_{10}2 - \log_{10}5) < -1$

$-2 \le n(\log_{10}2 - \log_{10}\frac{10}{2}) < -1$

$-2 \le n(\log_{10}2 - (\log_{10}10 - \log_{10}2)) < -1$

$-2 \le n(\log_{10}2 - (1 - \log_{10}2)) < -1$

$-2 \le n(2\log_{10}2 - 1) < -1$

$\log_{10}2 = 0.3010$ より、

$-2 \le n(2 \times 0.3010 - 1) < -1$

$-2 \le n(0.6020 - 1) < -1$

$-2 \le n(-0.398) < -1$

$n$ で割る際に不等号の向きが変わることに注意する。

$\frac{-2}{-0.398} \ge n > \frac{-1}{-0.398}$

$\frac{2}{0.398} \ge n > \frac{1}{0.398}$

$\frac{1}{0.398} \approx 2.51$

$\frac{2}{0.398} \approx 5.02$

$2.51 < n \le 5.02$

したがって、 $n = 3, 4, 5$

3. 最終的な答え

$n = 3, 4, 5$