$m^2 + n^2$ が奇数ならば、$m$ と $n$ の少なくとも一方は奇数であることを証明する問題です。

1. 問題の内容

$m^2 + n^2$ が奇数ならば、$m$ と $n$ の少なくとも一方は奇数であることを証明する問題です。

2. 解き方の手順

この問題は、対偶を証明することで解決します。つまり、「$m$ と $n$ が共に奇数でないならば、$m^2 + n^2$ は奇数でない（偶数である）」ことを示します。

$m$ と $n$ が共に奇数でない場合、次の3つの可能性があります。

1. $m$ と $n$ が共に偶数である。

2. $m$ が偶数で $n$ が奇数である。

3. $m$ が奇数で $n$ が偶数である。

それぞれのケースで $m^2 + n^2$ が偶数になることを示します。

ケース1: $m$ と $n$ が共に偶数である場合

$m = 2a$ 、 $n = 2b$ と表すことができます。

ここで、$a$ と $b$ は整数です。

$m^2 + n^2 = (2a)^2 + (2b)^2 = 4a^2 + 4b^2 = 4(a^2 + b^2)$

$4(a^2 + b^2)$ は4の倍数であり、したがって偶数です。

ケース2: $m$ が偶数で $n$ が奇数である場合

$m = 2a$ 、 $n = 2b + 1$ と表すことができます。

ここで、$a$ と $b$ は整数です。

$m^2 + n^2 = (2a)^2 + (2b + 1)^2 = 4a^2 + 4b^2 + 4b + 1 = 4(a^2 + b^2 + b) + 1$

$4(a^2 + b^2 + b) + 1$ は奇数です。

ケース3: $m$ が奇数で $n$ が偶数である場合

$m = 2a + 1$ 、 $n = 2b$ と表すことができます。

ここで、$a$ と $b$ は整数です。

$m^2 + n^2 = (2a + 1)^2 + (2b)^2 = 4a^2 + 4a + 1 + 4b^2 = 4(a^2 + a + b^2) + 1$

$4(a^2 + a + b^2) + 1$ は奇数です。

しかし、$m$と$n$が共に偶数の場合、$m^2+n^2$は偶数になります。一方、$m$が偶数で$n$が奇数、または、$m$が奇数で$n$が偶数の場合、$m^2+n^2$は奇数になります。従って、対偶法による証明はできません。

元の命題を直接証明します。$m^2 + n^2$ が奇数であると仮定します。もし、$m$と$n$がともに偶数ならば、$m = 2a$と$n = 2b$と表現できます。したがって、$m^2 + n^2 = (2a)^2 + (2b)^2 = 4a^2 + 4b^2 = 2(2a^2 + 2b^2)$となり、$m^2 + n^2$は偶数となり、仮定と矛盾します。もし、$m$と$n$がともに奇数でないと仮定すると、この場合、$m^2+n^2$が奇数になるためには、少なくとも$m$と$n$のどちらか一方は奇数でなければなりません。

3. 最終的な答え

$m^2 + n^2$ が奇数ならば、$m$ と $n$ の少なくとも一方は奇数である。