$\sqrt{2}$ が無理数であることを用いて、$3\sqrt{2}$ が無理数であることを証明します。

1. 問題の内容

$\sqrt{2}$ が無理数であることを用いて、$3\sqrt{2}$ が無理数であることを証明します。

2. 解き方の手順

背理法を用いて証明します。

(1) $3\sqrt{2}$ が有理数であると仮定します。つまり、$3\sqrt{2} = r$ となる有理数 $r$ が存在すると仮定します。

(2) $3\sqrt{2} = r$ の両辺を3で割ると、

$\sqrt{2} = \frac{r}{3}$

となります。

(3) $r$ が有理数なので、$\frac{r}{3}$ も有理数です。これは、$\sqrt{2}$ が有理数であることを意味します。

(4) しかし、これは$\sqrt{2}$ が無理数であるという仮定に矛盾します。

(5) したがって、$3\sqrt{2}$ が有理数であるという仮定は誤りです。

(6) よって、$3\sqrt{2}$ は無理数です。

3. 最終的な答え

$3\sqrt{2}$ は無理数である。