$a, b$ は実数とする。命題「$a+b$ が無理数ならば、$a, b$ の少なくとも一方は無理数である」の真偽を調べる。

1. 問題の内容

$a, b$ は実数とする。命題「$a+b$ が無理数ならば、$a, b$ の少なくとも一方は無理数である」の真偽を調べる。

2. 解き方の手順

この命題の真偽を調べるために、背理法を用いる。

つまり、命題が偽であると仮定し、矛盾を導く。

命題が偽であると仮定すると、「$a+b$ が無理数」であり、「$a$ も $b$ も無理数ではない」となる。

$a$ も $b$ も無理数ではない、ということは、$a$ も $b$ も有理数である、ということである。

$a$ と $b$ が有理数であると仮定すると、

$a = \frac{p}{q}$, $b = \frac{r}{s}$ （$p, q, r, s$ は整数、$q \neq 0, s \neq 0$）と表せる。

このとき、$a+b$ は

$a + b = \frac{p}{q} + \frac{r}{s} = \frac{ps + qr}{qs}$

となる。$ps+qr$ も $qs$ も整数であり、$qs \neq 0$ であるから、$a+b$ は有理数である。

ところが、$a+b$ は無理数であると仮定したので、$a+b$ が有理数であるという結論と矛盾する。

したがって、仮定が誤りであり、もとの命題は真である。

3. 最終的な答え

真