AとBの2人がサイコロを投げ合うゲームについて、以下の確率を求める問題です。 (1) $n$回目にAがサイコロを投げる確率 $a_n$ を求めよ。 (2) ちょうど$n$回目のサイコロ投げでAが勝つ確率 $p_n$ を求めよ。 (3) $n$回以内のサイコロ投げでAが勝つ確率 $q_n$ を求めよ。 サイコロのルールは以下の通りです。 * 1回目はAが投げる * 1, 2, 3の目が出たら、次の回には同じ人が投げる * 4, 5の目が出たら、次の回には別の人が投げる * 6の目が出たら、投げた人を勝ちとし、ゲーム終了

1. 問題の内容

AとBの2人がサイコロを投げ合うゲームについて、以下の確率を求める問題です。

(1) $n$回目にAがサイコロを投げる確率 $a_n$ を求めよ。

(2) ちょうど$n$回目のサイコロ投げでAが勝つ確率 $p_n$ を求めよ。

(3) $n$回以内のサイコロ投げでAが勝つ確率 $q_n$ を求めよ。

サイコロのルールは以下の通りです。

* 1回目はAが投げる

* 1, 2, 3の目が出たら、次の回には同じ人が投げる

* 4, 5の目が出たら、次の回には別の人が投げる

* 6の目が出たら、投げた人を勝ちとし、ゲーム終了

2. 解き方の手順

(1) $n$回目にAがサイコロを投げる確率 $a_n$ を求める。

$a_1 = 1$ (1回目はAが投げる)

$a_{n+1}$ について考える。$n$回目にAが投げる場合とBが投げる場合に分けて考える。

$n$回目にAが投げて、$n+1$回目もAが投げる確率は、$a_n \times \frac{3}{6} = \frac{1}{2} a_n$

$n$回目にBが投げて、$n+1$回目にAが投げる確率は、$(1-a_n) \times \frac{2}{6} = \frac{1}{3} (1-a_n)$

よって、

$a_{n+1} = \frac{1}{2} a_n + \frac{1}{3} (1-a_n) = \frac{1}{6} a_n + \frac{1}{3}$

この漸化式を解く。

$a_{n+1} - \alpha = \frac{1}{6} (a_n - \alpha)$ となる $\alpha$ を求める。

$\alpha = \frac{1}{6} \alpha + \frac{1}{3}$ より $\frac{5}{6} \alpha = \frac{1}{3}$ なので $\alpha = \frac{2}{5}$

$a_{n+1} - \frac{2}{5} = \frac{1}{6} (a_n - \frac{2}{5})$

$b_n = a_n - \frac{2}{5}$ とおくと、 $b_{n+1} = \frac{1}{6} b_n$ なので $b_n$ は等比数列。

$b_1 = a_1 - \frac{2}{5} = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$

$b_n = \frac{3}{5} \left( \frac{1}{6} \right)^{n-1}$

よって、 $a_n = \frac{3}{5} \left( \frac{1}{6} \right)^{n-1} + \frac{2}{5}$

(2) ちょうど$n$回目のサイコロ投げでAが勝つ確率 $p_n$ を求める。

$n$回目にAが勝つためには、$n$回目にAがサイコロを投げ、6の目が出ればよい。

また、$n-1$回目までに誰も6の目を出していない必要がある。

$p_n = a_n \times \frac{1}{6} \times \left( \frac{5}{6} \right)^{n-1}$

$a_n$ を代入して、

$p_n = \left[ \frac{3}{5} \left( \frac{1}{6} \right)^{n-1} + \frac{2}{5} \right] \times \frac{1}{6} \times \left( \frac{5}{6} \right)^{n-1} = \frac{3}{5} \left( \frac{1}{6} \right)^n \left( \frac{5}{6} \right)^{n-1} + \frac{2}{5} \times \frac{1}{6} \left( \frac{5}{6} \right)^{n-1} = \frac{1}{10} \left( \frac{5}{36} \right)^{n-1} + \frac{1}{15} \left( \frac{5}{6} \right)^{n-1}$

(3) $n$回以内のサイコロ投げでAが勝つ確率 $q_n$ を求める。

$q_n = \sum_{k=1}^n p_k$, ただし$p_k$はAがちょうどk回目で勝つ確率

$q_n = \sum_{k=1}^n \left[ \frac{1}{10} \left( \frac{5}{36} \right)^{k-1} + \frac{1}{15} \left( \frac{5}{6} \right)^{k-1} \right]$

$q_n = \frac{1}{10} \sum_{k=1}^n \left( \frac{5}{36} \right)^{k-1} + \frac{1}{15} \sum_{k=1}^n \left( \frac{5}{6} \right)^{k-1}$

等比数列の和の公式 $\sum_{k=1}^n r^{k-1} = \frac{1-r^n}{1-r}$ を用いて、

$q_n = \frac{1}{10} \frac{1 - (\frac{5}{36})^n}{1 - \frac{5}{36}} + \frac{1}{15} \frac{1 - (\frac{5}{6})^n}{1 - \frac{5}{6}} = \frac{1}{10} \frac{1 - (\frac{5}{36})^n}{\frac{31}{36}} + \frac{1}{15} \frac{1 - (\frac{5}{6})^n}{\frac{1}{6}} = \frac{36}{310} \left[ 1 - \left( \frac{5}{36} \right)^n \right] + \frac{6}{15} \left[ 1 - \left( \frac{5}{6} \right)^n \right] = \frac{18}{155} \left[ 1 - \left( \frac{5}{36} \right)^n \right] + \frac{2}{5} \left[ 1 - \left( \frac{5}{6} \right)^n \right]$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{3}{5} \left( \frac{1}{6} \right)^{n-1} + \frac{2}{5}$

(2) $p_n = \frac{1}{10} \left( \frac{5}{36} \right)^{n-1} + \frac{1}{15} \left( \frac{5}{6} \right)^{n-1}$

(3) $q_n = \frac{18}{155} \left[ 1 - \left( \frac{5}{36} \right)^n \right] + \frac{2}{5} \left[ 1 - \left( \frac{5}{6} \right)^n \right]$