与えられた4つの式を展開する問題です。 (1) $(x+y)^2(x-y)^2$ (2) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$ (3) $(x-y)(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)$ (4) $(x+y)(y+z)(z+x)$

1. 問題の内容

与えられた4つの式を展開する問題です。

(1) $(x+y)^2(x-y)^2$

(2) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$

(3) $(x-y)(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)$

(4) $(x+y)(y+z)(z+x)$

2. 解き方の手順

(1) $(x+y)^2(x-y)^2$ は、まず $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ を利用します。

すると、$(x+y)^2(x-y)^2 = ((x+y)(x-y))^2 = (x^2 - y^2)^2$ となります。

$(x^2 - y^2)^2$ を展開すると、$x^4 - 2x^2y^2 + y^4$ となります。

(2) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$ は、$(x+1)(x+4)$ と $(x+2)(x+3)$ をそれぞれ計算します。

$(x+1)(x+4) = x^2 + 5x + 4$

$(x+2)(x+3) = x^2 + 5x + 6$

ここで、$A = x^2 + 5x$ とおくと、与式は $(A+4)(A+6) = A^2 + 10A + 24$ となります。

$A$ を元に戻すと、$(x^2 + 5x)^2 + 10(x^2 + 5x) + 24 = x^4 + 10x^3 + 25x^2 + 10x^2 + 50x + 24 = x^4 + 10x^3 + 35x^2 + 50x + 24$ となります。

(3) $(x-y)(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)$ は、まず $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ を利用します。

すると、$(x-y)(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4) = (x^2 - y^2)(x^2+y^2)(x^4+y^4)$ となります。

次に、$(x^2 - y^2)(x^2+y^2) = x^4 - y^4$ を利用すると、$(x^4 - y^4)(x^4+y^4)$ となります。

最後に、$(x^4 - y^4)(x^4+y^4) = x^8 - y^8$ となります。

(4) $(x+y)(y+z)(z+x)$ を展開します。

$(x+y)(y+z) = xy + xz + y^2 + yz$

$(xy + xz + y^2 + yz)(z+x) = xyz + x^2y + xz^2 + x^2z + y^2z + xy^2 + yz^2 + xyz$

整理すると、$x^2y + x^2z + xy^2 + y^2z + xz^2 + yz^2 + 2xyz$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $x^4 - 2x^2y^2 + y^4$

(2) $x^4 + 10x^3 + 35x^2 + 50x + 24$

(3) $x^8 - y^8$

(4) $x^2y + x^2z + xy^2 + y^2z + xz^2 + yz^2 + 2xyz$