1から4の番号が書かれた赤球、白球、青球がそれぞれ4個ずつ、合計12個の球がある。この中から4個の球を同時に取り出す。 (1) 4個の球の取り出し方の総数を求める。 (2) 取り出した4個の球に、番号4が書かれた球がちょうど2個含まれるような取り出し方の数を求める。 (3) 取り出した4個の球の色の種類がちょうど2種類であり、かつ、取り出した4個の球に番号4が書かれた球が含まれるような取り出し方の数を求める。

1. 問題の内容

1から4の番号が書かれた赤球、白球、青球がそれぞれ4個ずつ、合計12個の球がある。この中から4個の球を同時に取り出す。

(1) 4個の球の取り出し方の総数を求める。

(2) 取り出した4個の球に、番号4が書かれた球がちょうど2個含まれるような取り出し方の数を求める。

(3) 取り出した4個の球の色の種類がちょうど2種類であり、かつ、取り出した4個の球に番号4が書かれた球が含まれるような取り出し方の数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 12個の球から4個の球を取り出す組み合わせの総数を求める。これは、組み合わせの公式 ${}_{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を用いて計算できる。

$${}_{12}C_{4} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495$$

(2) 4が書かれた球は3個（赤、白、青）。4が書かれた球をちょうど2個取り出すということは、残りの2個は4以外の番号の球を選ぶことになる。4以外の番号が書かれた球は9個ある（各色3個）。

まず4の球を2個選ぶ組み合わせは ${}_{3}C_{2} = 3$ 通り。

次に、残りの2個を4以外の9個の球から選ぶ組み合わせは ${}_{9}C_{2} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$ 通り。

したがって、$3 \times 36 = 108$ 通り。

(3) 色が2種類であり、かつ4が含まれる場合を考える。

まず4が入る色の組み合わせを考える。

(i) 4が2個の場合: 4が2個なので、色の組み合わせは ${}_{3}C_{2} = 3$通り.残り2個は4以外の番号から選ぶ必要があり、2種類の色にする必要がある。それぞれの色の4以外の番号の球は3個ずつなので、まず色を選ぶ${}_{2}C_{2} = 1$通り、そこからそれぞれの球を選ぶ$3 \times 3 = 9$通り.

従って、$3 \times 1 \times 9 = 27$通り

(ii) 4が1個の場合: 4の球の色を選ぶ${}_{3}C_{1} = 3$通り.4以外の球の色の組み合わせを考える。4以外の色が1種類の場合、残りの3個を4以外の色の球から選ぶことになる。これはありえない。4以外の色が2種類の場合,4以外の球は2種類から選ぶことになる。選んだ2種類の色は4以外の色が3つずつあるので、まず${}_{2}C_{1} = 2$、4が選ばれていない色を決め、4以外の球を2個と、4の球が選ばれた色から4以外の球を1個選ぶことになる。従って$3 \times 3 \times 3 \times 2 = 54$

従って、$54 + 27 = 81$通り

3. 最終的な答え

(1) 495通り

(2) 108通り

(3) 81通り