円Oにおいて、$\angle AOC = 115^\circ$であり、直線$l$は点Aで円Oに接している。$\angle ABC = x$、$\angle CPA = y$とするとき、$x$と$y$の値を求めよ。

1. 問題の内容

円Oにおいて、$\angle AOC = 115^\circ$であり、直線$l$は点Aで円Oに接している。$\angle ABC = x$、$\angle CPA = y$とするとき、$x$と$y$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$の値を求める。

円周角の定理より、$\angle AOC$は中心角であり、$\angle ABC$は円周角であるため、

$\angle ABC = x = \frac{1}{2} \angle AOC$

$\angle AOC = 115^\circ$なので、

$x = \frac{1}{2} \times 115^\circ = 57.5^\circ$

次に、$y$の値を求める。

直線$l$は円Oの接線なので、$\angle OAP = 90^\circ$である。

$\angle OAC = \frac{180^\circ - 115^\circ}{2} = \frac{65^\circ}{2} = 32.5^\circ$

したがって、$\angle CAP = \angle OAP - \angle OAC = 90^\circ - 32.5^\circ = 57.5^\circ$

三角形APCにおいて、内角の和は180°なので、

$\angle APC + \angle PCA + \angle CAP = 180^\circ$

$y + \angle PCA + 57.5^\circ = 180^\circ$

ここで、$\angle PCA = \angle OCA = 32.5^\circ$である。

$y + 32.5^\circ + 57.5^\circ = 180^\circ$

$y + 90^\circ = 180^\circ$

$y = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

別の解き方：

円の接線に関する定理より、$\angle CAP = \angle ABC = x = 57.5^\circ$

三角形PCAにおいて、$y + \angle PCA + \angle CAP = 180^\circ$

$y + 32.5^\circ + 57.5^\circ = 180^\circ$

$y + 90^\circ = 180^\circ$

$y = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

3. 最終的な答え

$x = 57.5^\circ$

$y = 90^\circ$