504以下の自然数のうち、504との最大公約数が1であるものは全部で何個ありますか。

1. 問題の内容

504以下の自然数のうち、504との最大公約数が1であるものは全部で何個ありますか。

2. 解き方の手順

この問題は、オイラーの $\phi$ 関数を用いて解くことができます。$\phi(n)$ は $n$ 以下の自然数のうち、$n$ と互いに素な数の個数を表します。つまり、求めるのは $\phi(504)$ です。

まず、$504$ を素因数分解します。

$504 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7$

オイラーの $\phi$ 関数は、以下の性質を持ちます。

$\phi(p^k) = p^k - p^{k-1}$ ($p$ は素数、$k$ は正の整数)

$\phi(mn) = \phi(m)\phi(n)$ ($m$ と $n$ が互いに素なとき)

これらを利用して $\phi(504)$ を計算します。

$\phi(504) = \phi(2^3 \cdot 3^2 \cdot 7) = \phi(2^3) \cdot \phi(3^2) \cdot \phi(7)$

$\phi(2^3) = 2^3 - 2^2 = 8 - 4 = 4$

$\phi(3^2) = 3^2 - 3^1 = 9 - 3 = 6$

$\phi(7) = 7 - 1 = 6$

したがって、

$\phi(504) = 4 \cdot 6 \cdot 6 = 144$

3. 最終的な答え

144個