$n$ は整数であるとき、「$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である」という命題を証明する。

1. 問題の内容

$n$ は整数であるとき、「$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である」という命題を証明する。

2. 解き方の手順

この命題を直接証明するのは難しいので、対偶を証明する。

元の命題の対偶は「$n$ が偶数ならば、$n^2$ は偶数である」となる。

$n$ が偶数であると仮定すると、ある整数 $k$ を用いて、$n = 2k$ と表すことができる。

このとき、$n^2$ は

$n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$

と表せる。

$2k^2$ は整数であるため、$n^2$ は 2 の倍数であり、したがって偶数である。

したがって、「$n$ が偶数ならば、$n^2$ は偶数である」が成り立つ。

これは元の命題の対偶であるため、元の命題「$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である」も成り立つ。

3. 最終的な答え

$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である。（証明終わり）