(1) $M$ と $N$ はともに2桁の自然数で、差が36、最大公約数が9である。このような $M, N$ の組をすべて求めよ。 (2) $M$ と $N$ の和が21、最小公倍数が36である。このような $M, N$ の組を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $M$ と $N$ はともに2桁の自然数で、差が36、最大公約数が9である。このような $M, N$ の組をすべて求めよ。

(2) $M$ と $N$ の和が21、最小公倍数が36である。このような $M, N$ の組を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$M > N$ であり、$M - N = 36$、最大公約数が9である。

$M = 9m, N = 9n$ （$m, n$ は互いに素な自然数、$m > n$）とおける。

$M - N = 9m - 9n = 9(m - n) = 36$ より、$m - n = 4$。

$M$ と $N$ はともに2桁の自然数であるから、$10 \le 9m \le 99$ かつ $10 \le 9n \le 99$。つまり、$\frac{10}{9} \le m \le 11$ かつ $\frac{10}{9} \le n \le 11$。

したがって、$2 \le m \le 11$ かつ $2 \le n \le 11$ である。

$m - n = 4$ を満たす $m, n$ の組は、$(m, n) = (5, 1), (6, 2), (7, 3), (8, 4), (9, 5), (10, 6), (11, 7)$。

この中で、$m$ と $n$ が互いに素であるのは、$(5, 1), (7, 3), (8, 4), (9, 5), (10, 6), (11, 7)$のみ。

このうち、$m, n$ が互いに素な組は、$(5, 1), (7, 3), (9, 5), (11, 7)$ である。

$M = 9m, N = 9n$ であるから、

$(M, N) = (45, 9), (63, 27), (81, 45), (99, 63)$。

ただし、$N$ が2桁である必要がある。

$(45, 9)$は、$N=9$が2桁ではないため、除外する。

よって、$(M, N) = (63, 27), (81, 45), (99, 63)$。

(2)

$M + N = 21$, 最小公倍数 $[M, N] = 36$。

$M = ag, N = bg$ （$a, b$ は互いに素な自然数、$g$ は最大公約数）とおくと、$M + N = (a + b)g = 21$。

$[M, N] = abg = 36$。

$g$ は 21 の約数であるから、$g = 1, 3, 7, 21$。

$g=1$ のとき、$a+b = 21, ab = 36$。このとき、$a, b$ は $x^2 - 21x + 36 = 0$ の解。これは整数解を持たない。

$g=3$ のとき、$a+b = 7, ab = 12$。このとき、$a, b$ は $x^2 - 7x + 12 = 0$ の解。

$(x - 3)(x - 4) = 0$ より、$x = 3, 4$。

したがって、$(a, b) = (3, 4)$ または $(4, 3)$。

$(M, N) = (9, 12)$ または $(12, 9)$。

$g=7$ のとき、$a+b = 3, ab = \frac{36}{7}$。これは整数解を持たない。

$g=21$ のとき、$a+b = 1, ab = \frac{36}{21}$。これは自然数解を持たない。

したがって、$(M, N) = (12, 9)$。ただし、$M>N$より、$M=12, N=9$

3. 最終的な答え

(1) $(M, N) = (63, 27), (81, 45), (99, 63)$

(2) $(M, N) = (12, 9)$