4桁の自然数 $n$ の千の位、百の位、十の位、一の位の数字をそれぞれ $a, b, c, d$ とする。 (1) $a > b > c > d$ を満たす $n$ は何個あるか。 (2) $a < b < c < d$ を満たす $n$ は何個あるか。

1. 問題の内容

4桁の自然数 $n$ の千の位、百の位、十の位、一の位の数字をそれぞれ $a, b, c, d$ とする。

(1) $a > b > c > d$ を満たす $n$ は何個あるか。

(2) $a < b < c < d$ を満たす $n$ は何個あるか。

2. 解き方の手順

(1)

$a, b, c, d$ はすべて異なる数字であり、$a > b > c > d$ であるから、0から9までの10個の数字から4個の数字を選ぶ組み合わせを考えればよい。選んだ4つの数字を大きい順に $a, b, c, d$ に割り当てれば条件を満たす。

したがって、求める個数は $10C4$ で計算できる。

$10C4 = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$

(2)

$a, b, c, d$ はすべて異なる数字であり、$a < b < c < d$ であるから、0から9までの10個の数字から4個の数字を選ぶ組み合わせを考えればよい。ただし、千の位である $a$ は0であってはいけないので、まず1から9までの9個の数字から4個の数字を選ぶ組み合わせを考える。

$a,b,c,d$はそれぞれ異なる数字なので0から9の中から4つの数字を選べば、小さい順にa,b,c,dに割り当てることができる。

しかし$a<b<c<d$を満たすとき、aは0でも良いが、aが0の場合とそうでない場合に分けて考えよう。

(i) aが0の場合

$0<b<c<d$を満たすとき、b,c,dは1~9の9個から3つ選べば良い。

その選び方は、$9C3 = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$

(ii) aが0でない場合

$1 \leq a < b < c < d$

a,b,c,dは1から9までの9個の数字から4個を選べば良い。

その選び方は、$9C4 = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 9 \times 2 \times 7 = 126$

求める総数は、(i)+(ii) = 84 + 126 = 210通りである。

別解：

$a,b,c,d$は0から9までの数字だが、$a=0$になる場合があるので、まず1から9までの9個の数字から4個を選ぶ組み合わせを考える。

$a, b, c, d$ はすべて異なる数字であるから、$a < b < c < d$ を満たすように並べることができる。

もし、$a$ が 0 であれば、$n$ は4桁の自然数にはならないので、$a > 0$ である必要がある。

$a, b, c, d$ のうち、0を含む場合と含まない場合を分けて考える。

0を含む場合、1から9までの9個の数字から3個を選び、選んだ3個の数字に0を加えた4つの数字を小さい順に $a, b, c, d$ に割り当てれば良いので、$9C3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ 通り。

0を含まない場合、1から9までの9個の数字から4個を選び、選んだ4つの数字を小さい順に $a, b, c, d$ に割り当てれば良いので、$9C4 = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$ 通り。

したがって、求める個数は $84 + 126 = 210$

3. 最終的な答え

(1) 210個

(2) 126個