問題は、群数列に関する以下の2つの問いです。 (7) 先頭から数えて100番目に現れる分数は何か。 (8) 先頭から100番目までの総和を求めよ。 与えられた数列は、 $\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{3}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{4}{4}, \frac{1}{5}, ...$ のように群に区切られています。第k群には、分母がkで分子が1からkまでの分数が並んでいます。

1. 問題の内容

問題は、群数列に関する以下の2つの問いです。

(7) 先頭から数えて100番目に現れる分数は何か。

(8) 先頭から100番目までの総和を求めよ。

与えられた数列は、

$\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{3}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{4}{4}, \frac{1}{5}, ...$

のように群に区切られています。第k群には、分母がkで分子が1からkまでの分数が並んでいます。

2. 解き方の手順

(7) 100番目の分数を求める。

まず、第k群までの項数の合計を求めます。第k群にはk個の項があるので、第k群までの項数の合計は、

$1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{k(k+1)}{2}$

100番目の分数がどの群に属するかを調べるために、

$\frac{k(k+1)}{2} \ge 100$

となる最小のkを求めます。

$k(k+1) \ge 200$

$k=13$のとき、$13 \times 14 = 182 < 200$

$k=14$のとき、$14 \times 15 = 210 > 200$

よって、100番目の分数は第14群に属します。

第13群までの項数は $\frac{13 \times 14}{2} = 91$ です。

したがって、100番目の分数は第14群の $100 - 91 = 9$ 番目の分数です。

第14群の分数は $\frac{1}{14}, \frac{2}{14}, \frac{3}{14}, ..., \frac{14}{14}$ なので、第9番目の分数は $\frac{9}{14}$ です。

(8) 100番目までの総和を求める。

第13群までの和をまず計算します。第k群の和は、

$\frac{1}{k} + \frac{2}{k} + ... + \frac{k}{k} = \frac{1+2+...+k}{k} = \frac{k(k+1)}{2k} = \frac{k+1}{2}$

第13群までの和は、

$\sum_{k=1}^{13} \frac{k+1}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{13} (k+1) = \frac{1}{2} (\sum_{k=1}^{13} k + \sum_{k=1}^{13} 1) = \frac{1}{2} (\frac{13 \times 14}{2} + 13) = \frac{1}{2}(91+13) = \frac{1}{2}(104) = 52$

100番目の分数は第14群の9番目なので、第14群の最初の9つの分数の和を計算します。

$\frac{1}{14} + \frac{2}{14} + ... + \frac{9}{14} = \frac{1+2+...+9}{14} = \frac{9 \times 10}{2 \times 14} = \frac{45}{14}$

したがって、100番目までの総和は

$52 + \frac{45}{14} = \frac{52 \times 14 + 45}{14} = \frac{728 + 45}{14} = \frac{773}{14}$

3. 最終的な答え

(7) $\frac{9}{14}$

(8) $\frac{773}{14}$