2つの実数 $a$ と $b$ に関する命題「$a$ または $b$ が無理数ならば、$a+b$ と $ab$ は無理数である」について、この命題の逆と対偶を述べ、それぞれの真偽を判定する。

1. 問題の内容

2つの実数 $a$ と $b$ に関する命題「$a$ または $b$ が無理数ならば、$a+b$ と $ab$ は無理数である」について、この命題の逆と対偶を述べ、それぞれの真偽を判定する。

2. 解き方の手順

まず、与えられた命題を $P \Rightarrow Q$ の形で表す。ここで、

$P$: $a$ または $b$ が無理数である

$Q$: $a+b$ と $ab$ は無理数である

(1) 逆は $Q \Rightarrow P$ であり、「$a+b$ と $ab$ が無理数ならば、$a$ または $b$ は無理数である」となる。

(2) 対偶は $\neg Q \Rightarrow \neg P$ であり、「$a+b$ と $ab$ がともに有理数ならば、$a$ と $b$ はともに有理数である」となる。ここで、$\neg Q$ は $Q$ の否定、$\neg P$ は $P$ の否定を表す。

(3) 与えられた命題の真偽を判定する。

$a = \sqrt{2}$, $b = -\sqrt{2}$ のとき、$a$ は無理数、$b$ は無理数である。このとき、$a+b = 0$ (有理数), $ab = -2$ (有理数) となり、$a+b$ と $ab$ はともに無理数であるとは限らない。したがって、元の命題は偽である。

(4) 逆の真偽を判定する。

$a+b$ と $ab$ が無理数であるとしても、$a$ または $b$ は無理数とは限らない。たとえば、$a+b = \sqrt{2}$ (無理数), $ab = 1$ (有理数)となるような $a,b$ を考えると、$a$ と $b$ は $t^2-\sqrt{2}t+1=0$の解となるので、$a = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2-4}}{2} = \frac{\sqrt{2} + i\sqrt{2}}{2}$となり$b$も複素数になり、$a$ または $b$ は無理数とは限らない。

$a+b = 1$(有理数)、$ab = \sqrt{2}$(無理数)とすると、$a,b$は$t^2-t+\sqrt{2}=0$の解になり、$t = \frac{1\pm\sqrt{1-4\sqrt{2}}}{2}$となり、これは無理数ではない。（複素数となる。）

したがって、逆の命題は偽である。

(5) 対偶の真偽を判定する。

$a+b$ と $ab$ がともに有理数であるならば、$a$ と $b$ がともに有理数である。これは正しい。

$a+b = x, ab = y$ とすると、$a, b$ は $t^2 - xt + y = 0$ の解である。$x, y$ が有理数なので、$a, b = \frac{x \pm \sqrt{x^2 - 4y}}{2}$ となる。

$x^2-4y$が有理数の平方であるとき、$a, b$ は有理数となる。そうでないとき、$a, b$ は無理数となる。

したがって、$a+b$ と $ab$ がともに有理数のとき、$x$と$y$が有理数なので、$a, b = \frac{x \pm \sqrt{x^2 - 4y}}{2}$。

$x^2-4y$が有理数の平方数でなければ、$a$と$b$は無理数になる可能性があるため対偶は正しいとは言えない。

例えば、$a = \sqrt{2}, b = -\sqrt{2}$とすると、$a+b=0$ (有理数)、$ab=-2$ (有理数)だが、$a$も$b$も無理数である。

したがって、対偶の命題は偽である。

3. 最終的な答え

逆：「$a+b$ と $ab$ が無理数ならば、$a$ または $b$ は無理数である」。偽。

対偶：「$a+b$ と $ab$ がともに有理数ならば、$a$ と $b$ はともに有理数である」。偽。

元の命題：「$a$ または $b$ が無理数ならば、$a+b$ と $ab$ は無理数である」。偽。