$a$を正の定数とするとき、$0 \le x \le a$における関数$f(x) = -x^2 + 6x$について、以下の問いに答えます。 (1) 最大値を求めよ。 (2) 最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$を正の定数とするとき、$0 \le x \le a$における関数$f(x) = -x^2 + 6x$について、以下の問いに答えます。

(1) 最大値を求めよ。

(2) 最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = -x^2 + 6x$を平方完成します。

$f(x) = -(x^2 - 6x)$

$f(x) = -(x^2 - 6x + 9 - 9)$

$f(x) = -(x - 3)^2 + 9$

よって、関数$f(x)$は、頂点が$(3, 9)$の上向きに開いた放物線です。

(1) 最大値について

定義域が$0 \le x \le a$であることに注意します。

頂点の$x$座標は$3$なので、軸$x = 3$が定義域に含まれるかどうかで場合分けします。

(i) $0 < a \le 3$のとき、最大値は$f(a) = -a^2 + 6a$です。

(ii) $a > 3$のとき、最大値は$f(3) = 9$です。

(2) 最小値について

定義域が$0 \le x \le a$であることに注意します。

$x = 3$を中心として、$x = 0$と$x = a$との距離を比較します。

(i) $0 < a \le 6$のとき、最小値は、 $x = 0$または$x = a$のときの値となります。

$0 < a \le 3$のとき、$x = 0$で最小値$f(0) = 0$をとります。

$3 < a \le 6$のとき、$x = a$で最小値$f(a) = -a^2 + 6a$をとります。

$x=0$と$x=a$が軸$x=3$に関して対象な位置にあるとき、つまり、$a=6$のとき、$f(0) = f(6) = 0$です。

(ii) $a > 6$のとき、最小値は$f(a) = -a^2 + 6a$です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値

$0 < a \le 3$のとき、$f(a) = -a^2 + 6a$

$a > 3$のとき、$f(3) = 9$

(2) 最小値

$0 < a \le 6$のとき、$a \le 3$ならば$f(0)=0$、$a > 3$ならば$f(a) = -a^2 + 6a$

$a > 6$のとき、$f(a) = -a^2 + 6a$

まとめて、

(1) 最大値

$0 < a \le 3$のとき $-a^2 + 6a$

$a > 3$のとき $9$

(2) 最小値

$0 < a \le 6$のとき $-a^2 + 6a$ （$0 < a \le 3$のとき 0）

$a > 6$のとき $-a^2 + 6a$