関数 $y = (x^2 - 2x)(6 - x^2 + 2x)$ について、 $-1 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = (x^2 - 2x)(6 - x^2 + 2x)$ について、 $-1 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$t = x^2 - 2x$ と置換します。すると、$y = t(6 - t) = -t^2 + 6t$ となります。

次に、$t$ の取りうる範囲を求めます。$t = x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1$ であるから、 $-1 \le x \le 3$ において、$x = 1$ のとき $t$ は最小値 $-1$ をとり、$x = 3$ のとき $t$ は最大値 $3^2 - 2(3) = 9 - 6 = 3$ をとります。したがって、$-1 \le t \le 3$ となります。

次に、$y$ を $t$ の関数として考え、$y = -t^2 + 6t = -(t - 3)^2 + 9$ と変形します。

$-1 \le t \le 3$ において、$t = 3$ のとき、$y$ は最大値 $9$ をとります。このとき、$x^2 - 2x = 3$ なので、$x^2 - 2x - 3 = 0$ を解くと、$(x - 3)(x + 1) = 0$ となり、$x = 3, -1$ が得られます。

また、$t = -1$ のとき、$y = -(-1)^2 + 6(-1) = -1 - 6 = -7$ となり、これは $t$ の範囲における最小値を与えます。このとき、$x^2 - 2x = -1$ なので、$x^2 - 2x + 1 = 0$ を解くと、$(x - 1)^2 = 0$ となり、$x = 1$ が得られます。

3. 最終的な答え

最大値：$9$ ($x = 3, -1$ のとき)

最小値：$-7$ ($x = 1$ のとき)