2次方程式 $x^2 + (m-8)x + m = 0$ が重解を持つときの定数 $m$ の値を求め、それぞれの $m$ の値に対する重解を求めます。さらに、2つの重解の和 $x_1 + x_2$ と積 $x_1 x_2$ を求めます。最後に、$x_1 < x_2$ となる条件の下で、どの重解が $x_1$ と $x_2$ に対応するかを決定します。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + (m-8)x + m = 0$ が重解を持つときの定数 $m$ の値を求め、それぞれの $m$ の値に対する重解を求めます。さらに、2つの重解の和 $x_1 + x_2$ と積 $x_1 x_2$ を求めます。最後に、$x_1 < x_2$ となる条件の下で、どの重解が $x_1$ と $x_2$ に対応するかを決定します。

2. 解き方の手順

2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac = 0$ となることです。

この方程式の場合、$a = 1$, $b = m - 8$, $c = m$ なので、判別式は以下のようになります。

$D = (m - 8)^2 - 4(1)(m) = m^2 - 16m + 64 - 4m = m^2 - 20m + 64$

重解を持つ条件 $D = 0$ より、

$m^2 - 20m + 64 = 0$

$(m - 4)(m - 16) = 0$

したがって、$m = 4$ または $m = 16$ となります。

$m = 4$ のとき、方程式は $x^2 + (4-8)x + 4 = 0$ すなわち $x^2 - 4x + 4 = 0$ となり、$(x - 2)^2 = 0$ より、重解は $x_1 = 2$ となります。

$m = 16$ のとき、方程式は $x^2 + (16-8)x + 16 = 0$ すなわち $x^2 + 8x + 16 = 0$ となり、$(x + 4)^2 = 0$ より、重解は $x_2 = -4$ となります。

$x_1 + x_2 = 2 + (-4) = -2$

$x_1 x_2 = 2 \times (-4) = -8$

$x_1 < x_2$ という条件から、$2 > -4$　つまり，$x_1 = -4$、$x_2 = 2$ となることはない。

$x_1 = -4$, $x_2 = 2$ が正しい対応です。

3. 最終的な答え

$m = 4, 16$

$m = 4$ のときの重解 $x_1 = 2$

$m = 16$ のときの重解 $x_2 = -4$

$x_1 + x_2 = -2$

$x_1 x_2 = -8$

$x_1 < x_2$