$x$ に関する方程式 $kx^2 - 2(k+3)x + k + 10 = 0$ が実数解を持つような、負でない整数 $k$ を全て求める問題です。

1. 問題の内容

$x$ に関する方程式 $kx^2 - 2(k+3)x + k + 10 = 0$ が実数解を持つような、負でない整数 $k$ を全て求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$k=0$ の場合を考えます。このとき、方程式は $-6x + 10 = 0$ となり、$x = \frac{5}{3}$ という実数解を持つので、$k=0$ は条件を満たします。

次に、$k \neq 0$ の場合を考えます。方程式が実数解を持つためには、判別式 $D$ が $D \geq 0$ である必要があります。

判別式 $D$ は、

$D = [-2(k+3)]^2 - 4(k)(k+10) = 4(k^2 + 6k + 9) - 4(k^2 + 10k) = 4k^2 + 24k + 36 - 4k^2 - 40k = -16k + 36$

となります。

$D \geq 0$ より、

$-16k + 36 \geq 0$

$16k \leq 36$

$k \leq \frac{36}{16} = \frac{9}{4} = 2.25$

$k$ は負でない整数なので、$k$ は $0, 1, 2$ のいずれかになります。

$k=0$ の場合はすでに確認済みです。

$k=1$ のとき、方程式は $x^2 - 8x + 11 = 0$ となり、判別式は $D = (-8)^2 - 4(11) = 64 - 44 = 20 > 0$ なので実数解を持ちます。

$k=2$ のとき、方程式は $2x^2 - 10x + 12 = 0$ つまり $x^2 - 5x + 6 = 0$ となり、$(x-2)(x-3) = 0$ より $x=2, 3$ という実数解を持ちます。

したがって、$k$ は $0, 1, 2$ の全てが条件を満たします。

3. 最終的な答え

$k = 0, 1, 2$