$V = \frac{4}{3}\pi r^3 + (\frac{k - 4\pi r^2}{6})^{\frac{3}{2}}$ を$r$について微分せよ。

1. 問題の内容

$V = \frac{4}{3}\pi r^3 + (\frac{k - 4\pi r^2}{6})^{\frac{3}{2}}$ を$r$について微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、$V$を$r$で微分します。

$V$の第一項は$\frac{4}{3}\pi r^3$なので、これを$r$で微分すると、

$\frac{d}{dr}(\frac{4}{3}\pi r^3) = \frac{4}{3}\pi (3r^2) = 4\pi r^2$

となります。

次に、$V$の第二項$(\frac{k - 4\pi r^2}{6})^{\frac{3}{2}}$を$r$で微分します。これは合成関数の微分なので、まず外側の関数を微分し、次に内側の関数を微分します。

$\frac{d}{dr} (\frac{k - 4\pi r^2}{6})^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} (\frac{k - 4\pi r^2}{6})^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{d}{dr} (\frac{k - 4\pi r^2}{6})$

ここで、$\frac{d}{dr} (\frac{k - 4\pi r^2}{6}) = \frac{1}{6} \frac{d}{dr} (k - 4\pi r^2) = \frac{1}{6} (-8\pi r) = -\frac{4}{3}\pi r$

したがって、

$\frac{d}{dr} (\frac{k - 4\pi r^2}{6})^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} (\frac{k - 4\pi r^2}{6})^{\frac{1}{2}} (-\frac{4}{3}\pi r) = -2\pi r (\frac{k - 4\pi r^2}{6})^{\frac{1}{2}}$

$V$の微分は、上記の二つの微分を足し合わせることで得られます。

$\frac{dV}{dr} = 4\pi r^2 - 2\pi r (\frac{k - 4\pi r^2}{6})^{\frac{1}{2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dV}{dr} = 4\pi r^2 - 2\pi r (\frac{k - 4\pi r^2}{6})^{\frac{1}{2}}$