$dv/dr = 2\pi r (2r - \sqrt{\frac{k-4\pi r^2}{6}})$ のとき、$(0 < r < \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{\pi}})$ であり、$dv/dr = 0$ となるのは $r = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{\pi + 6}}$ である。このとき、増減表はどのように考えて作ればよいか。

1. 問題の内容

$dv/dr = 2\pi r (2r - \sqrt{\frac{k-4\pi r^2}{6}})$ のとき、$(0 < r < \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{\pi}})$ であり、$dv/dr = 0$ となるのは $r = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{\pi + 6}}$ である。このとき、増減表はどのように考えて作ればよいか。

2. 解き方の手順

増減表を作成するには、$dv/dr$ の符号を調べる必要があります。

ステップ1: $r$ の範囲を確認する。

問題文より、$0 < r < \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{\pi}}$ です。

ステップ2: $dv/dr = 0$ となる $r$ の値を確認する。

問題文より、$r = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{\pi + 6}}$ です。

この値を $r_0$ とおきます。つまり、$r_0 = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{\pi + 6}}$ です。

$0 < r < \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{\pi}}$ の範囲に $r_0$ が存在する必要があります。

$\frac{k}{\pi + 6} < \frac{k}{\pi}$ なので、$r_0$ はこの範囲に存在します。

ステップ3: $dv/dr$ の符号を調べる。

$dv/dr = 2\pi r (2r - \sqrt{\frac{k-4\pi r^2}{6}})$ の符号を、$0 < r < r_0$ と $r_0 < r < \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{\pi}}$ の範囲で調べます。

$r = r_0$ のとき、$dv/dr = 0$ なので、$2r_0 = \sqrt{\frac{k-4\pi r_0^2}{6}}$ が成り立ちます。

* $0 < r < r_0$ のとき：

$r < r_0$ より、$2r < 2r_0 = \sqrt{\frac{k-4\pi r_0^2}{6}}$ です。

ここで、$r < r_0$ より、$k - 4\pi r^2 > k - 4\pi r_0^2$ なので、$\sqrt{\frac{k-4\pi r^2}{6}} > \sqrt{\frac{k-4\pi r_0^2}{6}}$ とは限りません。

したがって、$2r - \sqrt{\frac{k-4\pi r^2}{6}}$ の符号は場合によって異なります。

しかし、$k-4\pi r^2 > 0$より、$4\pi r^2 < k$となるので、$r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$ となるため、$dv/dr$の式に代入して符号を確認します。

例として、$r$が十分小さい場合、$2r$ は小さく、$\sqrt{\frac{k-4\pi r^2}{6}}$ は $\sqrt{\frac{k}{6}}$ に近い値になるので、$2r - \sqrt{\frac{k-4\pi r^2}{6}} < 0$ となり、$dv/dr < 0$ となることが予想されます。

* $r_0 < r < \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{\pi}}$ のとき：

$r > r_0$ より、$2r > 2r_0 = \sqrt{\frac{k-4\pi r_0^2}{6}}$ です。

$k - 4\pi r^2 < k - 4\pi r_0^2$ なので、$\sqrt{\frac{k-4\pi r^2}{6}} < \sqrt{\frac{k-4\pi r_0^2}{6}}$ とは限りません。

したがって、$2r - \sqrt{\frac{k-4\pi r^2}{6}}$ の符号は場合によって異なります。

しかし、$k-4\pi r^2 > 0$より、$4\pi r^2 < k$となるので、$r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$ となるため、$dv/dr$の式に代入して符号を確認します。

ステップ4: 増減表を作成する。

上記の結果から、増減表は以下のようになります。

| r | 0 | ... | $r_0$ | ... | $\frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{\pi}}$ |

| ------------------ | --- | --------- | ------------------------ | --------------------------- | ---------------------------------- |

| $dv/dr$ | | - | 0 | + | |

| $v$ | | Decrease | 極小 | Increase | |

注意：上記の増減表は、$r < r_0$ で $dv/dr < 0$、$r > r_0$ で $dv/dr > 0$ と仮定して作成しています。

実際の符号は、$k$ の値によって変わる可能性があります。

3. 最終的な答え

増減表を作成するには、$dv/dr$ の符号を調べ、$0 < r < r_0$ と $r_0 < r < \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{\pi}}$ の範囲で、$dv/dr$ が正であるか負であるかを確認する必要があります。

その後、増減表を作成します。

上記の増減表は、$r < r_0$ で $dv/dr < 0$、$r > r_0$ で $dv/dr > 0$ と仮定して作成しています。

実際の符号は、$k$ の値によって変わる可能性があります。

$v$ の増減は、$dv/dr$ の符号によって決まります。$dv/dr > 0$ ならば $v$ は増加し、$dv/dr < 0$ ならば $v$ は減少します。$dv/dr = 0$ となる $r_0$ で、$v$ は極値を持ちます。