与えられた導関数 $\frac{dv}{dr} = 2\pi r \left(2r - \sqrt{\frac{k - 4\pi r^2}{6}}\right)$ に対して、$0 < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$ の範囲で、$\frac{dv}{dr} = 0$ となる $r$ の値が $r = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi + 6}}$ であるとき、どのように増減表を作成するかを問う問題です。

1. 問題の内容

与えられた導関数 $\frac{dv}{dr} = 2\pi r \left(2r - \sqrt{\frac{k - 4\pi r^2}{6}}\right)$ に対して、$0 < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$ の範囲で、$\frac{dv}{dr} = 0$ となる $r$ の値が $r = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi + 6}}$ であるとき、どのように増減表を作成するかを問う問題です。

2. 解き方の手順

増減表を作成するには、$\frac{dv}{dr}$ の符号を調べる必要があります。

$\frac{dv}{dr} = 0$ となる $r = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi + 6}}$ をもとに、この値より小さい $r$ と大きい $r$ において $\frac{dv}{dr}$ の符号を確認します。

まず、$2\pi r > 0$であるため、$2r - \sqrt{\frac{k - 4\pi r^2}{6}}$の符号のみを考えればよいです。

$f(r) = 2r - \sqrt{\frac{k - 4\pi r^2}{6}}$とします。

(1) $0 < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi + 6}}$のとき

$r = \frac{1}{4}\sqrt{\frac{k}{\pi + 6}}$を代入して $f(r)$ の符号を調べます。

$f\left(\frac{1}{4}\sqrt{\frac{k}{\pi + 6}}\right) = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi + 6}} - \sqrt{\frac{k - 4\pi \frac{1}{16} \frac{k}{\pi + 6}}{6}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi + 6}} - \sqrt{\frac{k - \frac{\pi}{4(\pi+6)}k}{6}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi + 6}} - \sqrt{\frac{k \frac{4\pi + 24 - \pi}{4(\pi+6)}}{6}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi + 6}} - \sqrt{\frac{(3\pi + 24)k}{24(\pi + 6)}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi + 6}} - \sqrt{\frac{3(\pi + 8)k}{24(\pi + 6)}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi + 6}} - \frac{1}{2}\sqrt{\frac{(\pi + 8)k}{3(\pi + 6)}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{\pi + 6}}\left(1 - \sqrt{\frac{\pi + 8}{3}}\right)$

$\sqrt{\frac{\pi + 8}{3}} > 1$なので、$f(r) < 0$ となります。

(2) $\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi + 6}} < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$のとき

$r = \frac{1}{3}\left(\sqrt{\frac{k}{\pi + 6}} + \sqrt{\frac{k}{\pi}}\right)$を代入して$f(r)$の符号を調べます。

$f(r) = 0$となる$r$の値は$2r = \sqrt{\frac{k - 4\pi r^2}{6}}$から$4r^2 = \frac{k - 4\pi r^2}{6}$つまり、$24r^2 = k - 4\pi r^2$なので、$r = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi + 6}}$です。

$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi + 6}} < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$では、$f(r) > 0$

増減表は以下のようになります。

| r | 0 | ... | $\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}}$ | ... | $\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$ |

| :------------------------------ | :-- | :---------------------------- | :---------------------------------- | :---------------------------- | :-------------------------------- |

| $\frac{dv}{dr}$ | | - | 0 | + | |

| v | | 減少 | 極小値 | 増加 | |

3. 最終的な答え

増減表は、$\frac{dv}{dr}$ が $r = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi + 6}}$ の前後で符号が変化することを利用して作成します。$0 < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi + 6}}$ で $\frac{dv}{dr} < 0$ (減少)であり、$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi + 6}} < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$ で $\frac{dv}{dr} > 0$ (増加)となるように増減表を作成します。